Netla – Veftímarit um uppeldi og menntun

Menntavísindasvið Háskóla Íslands
 

Grein birt 23. febrúar 2010

Greinar 2010

Kristín Bjarnadóttir

Hvað er þríliða?

Greinin fjallar um hlutfallareikning, sér í lagi þríliðu, sem var talin ómissandi aðferð allt fram um 1970 er hún hvarf snögglega úr kennslubókum í reikningi. Rakin er saga hlutfallareiknings, og sýnd dæmi allt frá dögum Forn-Egypta. Þótt þríliðan hafi verið fordæmd á seinni árum sem stöðnuð og úrelt reikningsaðferð má færa henni nokkuð til málsbóta og í nýrri sænskri rannsókn er varpað fram spurningu um hvort hin munnlega hefð sem tengist þríliðu geti fleytt nemendum yfir þröskuld að inngangi algebrunnar.

Kristín Bjarnadóttir er dósent við Menntavísindasvið Háskóla Íslands. Hún hefur kennt stærðfræði og eðlisfræði við grunn- og framhaldsskóla um árabil, samið kennslubækur og stýrt vinnu við námskrár í stærðfræði fyrir grunn- og framhaldsskóla. Doktorsritgerð hennar, sem út kom árið 2006, fjallar um sögu stærðfræðimenntunar á Íslandi í sögulegu og félagslegu samhengi.

Inngangur

Oft er spurt hvert markmiðið sé með stærðfræðinámi. Nærtæk rök eru not fyrir stærðfræði í viðskiptum manna á milli enda hafa verið gefnar út reikningsbækur um það efni til handa almenningi um aldir, bæði í handritum og prentaðar eftir upphaf prentlistar.

Indó-arabísk talnaritun í sætiskerfi með grunntölunni tíu barst til Evrópu á 12. öld. Nýrri talnaritun fylgdu reikniaðferðir sem snemma voru festar á bækur. Form reikningsbóka tók að mótast í lok miðalda. Þær hófust með útskýringu á talnahugtakinu og talningu en síðan voru kynntar aðferðir við reikning með heilum tölum og brotnum. Þá tóku við viðfangsefni hins daglega lífs, aðallega verslunar og viðskipta. Þau fólu oftar en ekki í sér hlutföll: verð í hlutfalli við magn, laun í hlutfalli við afköst, vegalengd í hlutfalli við tíma og ekki síst þurfti að skipta arfi, afla eða eignum í tilteknum hlutföllum.

Þar sem hlutfallareikningar voru svo algengir þróaðist um þá sérstakt form sem nefnt er þríliða. Heitið, Regula Trium á latínu, er dregið af því að þrír liðir eru stofn reikninganna í þeirra einföldustu mynd. Þá er til dæmis tiltekið magn vöru á gefnu verði og spurt hve mikið kosti þá annað magn.

Oft er einfaldast að finna hve mikið ein magneining vegi eða kosti og margfalda síðan, þ.e. beita því sem nefnt er einingaraðferð. Kostir þríliðu voru þó gjarnan fólgnir í því að vinna með fleiri tölur í einu og geta einfaldað reikningana með styttingu.

Verður nú vikið að aðferðum við hlutfallareikninga með þríliðu.

Saga þríliðunnar

Elsta dæmið sem vitað er til um þríliðu er að finna í Rhind-papýrusnum frá um 1650 f.Kr. (Tropfke, 1980, bls. 359). Í dæmi 69 segir:

Hægt er að gera 80 brauðhleifa úr 3½ hekati af hveiti. Hve mikið hveiti þarf í einn brauðhleif? Hve margir brauðhleifar fást úr einu hekati? [1]

Hekat var mælieining sem samsvarar tæpum fimm lítrum.

Dæmi úr íslensku handriti (ÍB 217, 4to) frá upphafi 18. aldar lýsir viðfangsefninu einnig vel:

Ferðamaður ferðast 29 mílur á fjórum dögum. Hve langt kemst hann á níu dögum?

Gert virðist ráð fyrir að aðstæður verði sambærilegar og áður. Vegalengdin 29 mílur stendur í sama hlutfalli við fjóra daga og óþekkta vegalengdin við níu daga. Margir mundu einfaldlega reikna út hve langt maðurinn ferðast á einum degi og margfalda svo með níu, sem sagt, nota einingaraðferðina. Annars væri þetta dæmi gjarnan sett upp í hlutfallajöfnuna:

Í hefðbundnum þríliðureikningi fyrri alda skyldi rita upplýsingar með þeim hætti sem sýnt er í handritinu:

4 – 29 – 9

Fremsta talan var þá nefnd forliður, miðtalan miðliður og hin aftasta afturliður. Settar voru fram 3–6 reglur um meðferð liðanna. Margfalda skyldi miðlið með afturlið, og deila með forlið. Þetta átti þó ekki alltaf við eins og síðar verður nefnt.

Í þessu tilviki skyldi margfalda 29 með 9 og deila með 4 og niðurstaðan verður 65¼ mílur.
Óhætt er að segja að reiknireglur um þríliðu hafi stirðnað í aldanna rás og mönnum hafi stundum blöskrað reikningskennsla barna og unglinga. Guðmundur Finnbogason segir í bók sinni Lýðmenntun árið 1903:

Eflaust mætti farga miklu af reikningsreglum þeim sem enn standa í sumum kennslubókum í reikningi, með hátíðlegu yfirbragði, eins og þær væru stignar af himnum ofan. Sá sem kann að hugsa og nota með „skynsamlegu viti“ hinar fjórar höfuðgreinir reikningsins, getur t.d. ofurvel leyst úr hverju þríliðudæmi, þó hann hafi aldrei heyrt þríliðu nefnda á nafn, eða heyrt getið um forlið, miðlið og afturlið, né reglurnar um meðferð þeirra (Guðmundur Finnbogason, 1903/1994, bls. 92).

Rætur þríliðu

Aðferðinni var lýst með almennum hætti í kínverska ritinu Jiuzhang suanshu/Níu kaflar um stærðfræðilistina frá tímum Han-ættarinnar (200 f.Kr. til 200 e.Kr.).

Með magni þess sem er gefið er margfölduð mælitala þess sem leitað er að. Það er deilistofninn. Takið mælitölu hins gefna, það er deilirinn. Deilið í deilistofninn með deilinum (Tropfke, 1980, bls. 360).

Þessi fyrirmæli samsvara því að margfalda saman miðlið og afturlið og deila síðan með forlið.
Heath (1956, II, bls. 215), sem gaf út vísindalega útgáfu af Frumþáttum Evklíðs, telur að það að teikna fjórðu hlutfallsstærðina, sem kennt er í reglu 12, í sjöttu bók, sé jafngilt þríliðu.

Gefin eru strikin A, B og C og finna á fjórða hlutfall þeirra.

A er strikið DG
B er strikið GE
C er strikið DH
Þá er

en HF er einmitt fjórða hlutfallið.

 

Leonardo frá Pisa, sem síðar var nefndur Fibonacci, segir í bók sinni Liber Abaci (1202) að fjórar hlutfallstölur, þar sem þrjár eru þekktar en ein er óþekkt, komi fyrir í mörgum samningagerðum (Sigler, 2002, bls. 127). Hann nefnir síðan aragrúa af dæmum.

Verslun og viðskiptum óx mjög fiskur um hrygg á seinni hluta miðalda. Bók Leonardos varð fyrirmynd reikningsbóka og þríliðan þróaðist meir og meir í reiknireglu. Þríliðan var í hávegum höfð meðal kaupmanna á 15. og 16. öld og reyndist gagnlegt tæki til að leysa hin fjölbreytilegustu verkefni. Þegar ritun kennslubóka fyrir unglinga hófst á átjándu og nítjándu öld var tekið mið af eldri kennslubókum. Telja má að reikningur, sem kenndur var unglingum í Evrópu langt fram á tuttugustu öld, hafi aðallega verið verslunarreikningur sem endurspeglaði þarfir í viðskiptum fyrri alda (Swetz, 1992).

Þríliða á tuttugustu öld

Forliður, miðliður og afturliður voru ekki nefndir í íslenskum kennslubókum tuttugustu aldar. Aðrar aðferðir voru teknar upp. Ólafur Daníelsson (1938, bls. 45–46) nefnir tvö dæmi í upphafi umfjöllunar um þríliðu í Reikningsbók sinni sem gefin var út í mismunandi útgáfum, 1906, 1914 og 1920. Útgáfan frá 1920 var oft endurprentuð, í fimmta sinn árið 1938.

Ólafur Daníelsson var hámenntaður stærðfræðingur sem lauk doktorsprófi frá Hafnarháskóla árið 1919. Er það einsdæmi í íslenskri sögu kennslubóka í stærðfræði að svo lærður maður leitist við að skýra stærðfræðihugtök fyrir almenningi en þörfin var mikil er Ólafur lauk námi í þann mund er fyrstu fræðslulögin voru sett 1907.

Annað tveggja dæma Ólafs hljóðar svo:

Hvað kosta 6 metrar ef 4 metrar kosta 3 krónur?

Í hinu dæminu segir:

4 menn vinna verk á 3 dögum. Hve lengi eru 6 menn að vinna það?

Í upphafi ræðir höfundur nokkuð um hlutfall og segir um fyrra dæmið að augljóst sé að hlutfallið milli krónuupphæðanna hljóti að vera það sama sem hlutfallið milli lengdanna. Síðan segir hann að til frekari skýringar megi rita dæmið upp í tvær línur, þannig að í efri línunni standi „skildagasetningin“, það er að segja, það sem tiltekið er í dæminu til að fara eftir. Í neðri línuna sé svo rituð spurningin í dæminu, á þann hátt að óþekkta talan, sem út á að koma, sé kölluð x svo að spurningin geti orðið á sama formi og skildagasetningin.

Í tilviki verðs á metrum er dæmið sett upp og hugsað þannig:

4 metrar kosta 3 kr.

6 metrar kosta x kr.

Margfaldað er með tölugildi hlutfallsins af því að 6 metrar kosta meira en 4 metrar.

krónur

Þetta er venjuleg rétt þríliða.

Í tilviki vinnunnar verður dæmið

4 menn vinna verk á 3 dögum

6 menn vinna verk á x dögum

Hér er margfaldað með tölugildi hlutfallsins    þar sem útkoman á að verða lægri en 3 dagar því að 6 menn eru færri daga að vinna verkið en 4 menn.

dagar

Dæmi af þessu tagi nefnast öfug þríliða.

Síðan segir Ólafur:

Í báðum þessum dæmum, sem tekin voru, finnst svarið með því að margfalda töluna, sem í skildagasetningunni stendur uppundan x, með tölugildi hlutfallsins milli hinna talnanna, sem standa hvor uppundan annari. En hvernig það hlutfall á að snúa, fer eftir því, hvort útkoman á að verða stærri eða minni en talan, sem í skildagasetningunni stendur uppundan x (Ólafur Daníelsson, 1938, bls. 46).

Ólafur leggur vissulega áherslu á hlutfallshugtakið en sýnir samt minnisreglu eins og til öryggis ef lesendur skyldu ekki skilja hvað við er átt.

Fyrstu þrjá aldarfjórðunga tuttugustu aldar var meirihluta rýmis íslenskra kennslubóka í reikningi fyrir unglinga varið í æfingar á þríliðudæmum. Prósentu- og vaxtareikningur var t.d. reiknaður með þeim hætti.

Kosturinn við þríliðu, setta fram með tiltekinni aðferð, var oft talinn sá að hana mátti nota án mikillar umhugsunar, sem gat komið sér vel í miklum verslunarerli ef vitað var að viðfangsefnin væru öll með sama sniði. Ókosturinn var að nemendum hætti til að yfirfæra aðferðina á hvað sem var, hvort sem um var að ræða rétt hlutföll eða ekki, t.d. ef reikna átti samband tíma og fallvegalengdar hlutar í frjálsu falli. Ólafur Daníelsson varaði við þeirri hættu eftir 40 bls. af æfingadæmum, en þeir sem sömdu síðar bækur, er áttu að hæfa samtímanum betur en kennslubók Ólafs, slepptu varnaðarorðunum.

Þríliðan slegin af

Árið 1966 ritaði Halldór Elíasson grein í Menntamál, málgagn kennarasamtaka, þar sem sagði:

Í núverandi námsbókum er nokkuð mikið um slæmar reikningslistir ...

Hlutfallareikningurinn er bein móðgun við heilbrigða skynsemi í því formi, sem hann er kenndur. Þríliðan er nú að vísu þægileg kennsluaðferð. Það eru alltaf viss líkindi til að nemendur setji rétt upp á strikið, og þríliðudæmi hafa viss einkenni, sem fara að valda þeim ósjálfráðu viðbrögðum nemenda, að þeir teikna eftirfarandi: x = -------.

Hins vegar tryggir notkun þríliðunnar svo til, að nemendur hafa ekki hugmynd um, hvað þeir eru að gera og hafa enga aðstöðu til að dæma um, hvort raunverulega sé rétt að nota þríliðu. Samkvæmt minni reynslu ætti eftirfarandi dæmi ekki að valda þríliðumeisturum miklum erfiðleikum:

 
Mars er 680 daga að fara einn hring umhverfis sólu og er í 228 milljón km fjarlægð frá henni. Hvað er þá Jörðin, sem er 365 daga að fara einn hring umhverfis sólina, í mikilli fjarlægð frá henni?

Það þarf alltaf einhverja þekkingu til að geta reiknað dæmi, þekkingu á þeim hugtökum, sem þar koma fyrir. Það, sem hér vantar, er kennsla í meðferð og notkun hugtaka. Til dæmis hugtök eins og verð, lengd, vextir o.s.frv. á að kenna að nota í reikningi. Með því er hægt að losna við þríliðuna og komast að kjarna þess, sem felst í hugtakinu hlutfallareikningur (Halldór Elíasson, 1966, bls. 96–97).

Þetta ár, 1966, var upphaf mikilla breytinga í stærðfræðikennslu á Íslandi, er hin svonefnda nýstærðfræði var tekin upp, og var grein þessi rituð í tilefni af þeim. Mörgu af hinu gamla var kastað fyrir róða, þar á meðal þríliðunni, sem hefur ekki sést síðan í íslenskum kennslubókum í reikningi.

Á þríliða rétt á sér?

Hatami (2007, bls. 185–199) skipti sænskum kennslubókum í þrjá hópa með tilliti til þríliðu eftir því hvort lögð var áhersla á reikniaðferð, þar sem meiri áhersla var lögð á að leggja reglur á minnið en skilning; hlutföll, út frá skilgreiningu á hlutfalli; eða notuðu einingaraðferðina, þar sem áherslan er lögð á rök og munnlega röksemdafærslu. Í lokaorðum sínum ræðir Hatami áhugaverða spurningu um hvort hinn munnlegi þáttur þríliðu með tengslum hennar við tungumálið og röksemdafærslu, sé ekki heppilegur inngangur að algebru fyrir unglinga.

Víst er að verkefni af því tagi sem leysa má með þríliðu koma upp á öllum tímum. Taka má undir með Guðmundi Finnbogasyni að hver sá sem kann að hugsa og nota hinar fjórar höfuðgreinir reikningsins, geti ofurvel leyst úr hverju þríliðudæmi. Straumar í kennslu í reikningi á vorum tímum eru að formgera hlutina ekki um of heldur hvetja til þess að nemendur hugsi út sínar eigin leiðir.

Reikningsbækur fyrri alda höfðu það að markmiði að létta mönnum verslunarstörf svo að ekki þyrfti að úthugsa aðferðir í hvert skipti þegar sams konar reikningar voru gerðir hvað eftir annað. Markmið reikningskennslu nú er annað. Enginn veit hvers konar reikninga hver og einn á eftir að vinna æ ofan í æ, ef þeir verða einhverjir. Mikilvægt er að treysta hyggjuvit ungra nemenda svo að þeir geti tekist á við margs konar vanda á eigin spýtur án þess að beita lærðum aðferðum þar sem þær eiga ef til vill ekki við eða óttast að hafa gleymt fyrirmæltri aðferð.

Hitt er einnig íhugunarvert, það sem Hatami nefnir, að hefð munnlegrar röksemdafærslu sem tengist þríliðu geti verið gagnlegur inngangur að algebru. Viðfangsefni sem tengja algebru við mannlegt tungumál og eigin reynslu nemenda stuðla að því að lyfta þeim yfir þröskuldinn sem upphaf algebrunáms reynist mörgum.

Aftanmálsgrein

  1. Höfundur greinarinnar hefur þýtt þýska texta.

Heimildir

Guðmundur Finnbogason. (1903/1994). Lýðmenntun. Loftur Guttormsson (ritstj.). Reykjavík: Rannsóknarstofnun Kennaraháskóla Íslands.

Halldór Elíasson. (1966). Stærðfræði og stærðfræðikennsla. Menntamál 39(2), 91–99.

Hatami, R. (2007). Reguladetri. En retorisk räknemetod speglad i svenska läromedel från 1600-tallet til början av 1900-tallet. Växsjö: MSI Växsjö University. Sótt á þessa slóð 4. ágúst 2009: http://vxu.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2:205218.

Heath, T. L. (1956). Euclid. The thirteen books of the Elements. I–III. New York: Dover Publications.

ÍB 217, 4to. Arithmetica – Það er reikningslist. Þjóðarbókhlaða, handritadeild.

Ólafur Daníelsson. (1938). Reikningsbók. (5. útgáfa). Reykjavík: Ísafoldarprentsmiðja h.f.

Sigler, L. E. (2002). Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer.

Swetz, F. (1992). Fifteenth and sixteenth century arithmetic texts: What can we learn from them? Science and Education, 1, 365–378.

Tropfke, J. (1980). Geschichte der Elementarmathematik. Berlin: Walter de Gruyter.



Prentútgáfa
     Viðbrögð