Netla – Veftímarit um uppeldi og menntun

Kennaraháskóli Íslands

Ritrýnd grein birt 30. desember 2007

Greinar 2007

Hafdís Guðjónsdóttir og Jónína Vala Kristinsdóttir

Kennarar eru á mörkum
gamalla tíma og nýrra

Þróun námskeiðs um stærðfræðikennslu fyrir alla

Í greininni er fjallað um rannsókn kennara á eigin kennslu á námskeiði í framhaldsdeild Kennaraháskóla Íslands. Markmið rannsóknarinnar var að þróa námskeið sem auðveldaði kennurum að skipuleggja stærðfræðikennslu fyrir börn með ólíkar forsendur til náms. Greining gagna leiddi til breytinga á kennsluháttum og viðfangsefnum námskeiðsins. Námskeiðið þróaðist þannig að í stað þess að fjalla aðallega um stærðfræðiörðugleika og hvernig greina má þá var lögð sífellt meiri áhersla á að kennarar kynntust rannsóknum á því hvernig börn hugsa við stærðfræðinám og lærðu að greina hvernig skilningur nemenda þeirra þróast við námið. Þátttakendur skráðu sögur úr eigin starfi, greindu þær og mátuðu við það sem þeir lásu um á námskeiðinu. Niðurstöður rannsóknarinnar benda til þess að ef kennarar fá tækifæri til að nýta þekkingu sína á rannsóknum á námi barna til að greina skilning þeirra styrkist hæfni þeirra til að taka ákvarðanir um ýmsa þætti kennslunnar. Höfundar eru lektorar við Kennaraháskóla Íslands; Hafdís í kennslufræði (sérkennslu) en Jónína Vala í stærðfræðimenntun.

The purpose of this self-study was to research the development of a graduate course taught at Iceland University of Education. The findings were used to re-develop the course in order to enable teachers to structure effective mathematics learning for children with mixed learning abilities. While the original course primarily focused on the nature of disabilities in mathematics, the new developments emphasized children’s mathematical understanding, and teachers’ capacity to evaluate and promote student learning through analysis of their engagement in authentic mathematical problems. During the course teachers wrote cases from their practice, analyzed, evaluated and related the content to pedagogical theory and their professional working theory. Findings from the study suggest that if teachers are given opportunities to integrate their experience in their studies and relate theory and practice, their ability to make informed decisions about teaching and learning increases.

Inngangur

Rannsóknir á eigin kennslu á vettvangi kennaramenntunar eru nauðsynlegar til að varpa ljósi á tengslin milli þess að kenna um kennslu og læra um kennslu (Loughran, 2007). Í greininni verður fjallað um námskeið um stærðfræðikennslu fyrir alla, ætlað nemendum í framhaldsdeild Kennaraháskóla Íslands, og rannsókn okkar sem kennum það á þróun námskeiðsins. Námskeiðið er kennt með fjarnámssniði og hittast kennarar og nemendur tvisvar á námskeiðstímanum, samtals þrjá daga. Þátttakendur eru þroskaþjálfar, leik- og grunnskólakennarar. Umræður um námsefni og verkefni fara fram á neti í námsumsjónarkerfinu WebCT. Námskeiðið var kennt í fyrsta skipti á haustönn 2002 og hefur verið kennt árlega síðan. Áður höfðu Edda Óskarsdóttir, sérkennari í grunnskóla, og Hafdís Guðjónsdóttir, lektor við Kennaraháskóla Íslands, fjallað um stærðfræðiörðugleika á námskeiði um lestrar- og stærðfræðiörðugleika sem kennt var í sérkennslufræðum við framhaldsdeild Kennaraháskóla Íslands.

Í fyrstu byggðist námskeiðið á því að fjallað var um stærðfræðiörðugleika, kynntar hugsanlegar orsakir þeirra og hvernig þeir birtast hjá nemendum. Síðan voru kynntar ýmsar aðferðir við að greina örðugleika nemenda við stærðfræðinám og viðmið sem Malmer (2002) hefur þróað um stærðfræðikennslu fyrir þá sem eiga í erfiðleikum með stærðfræðinám. Þátttakendur unnu verkefni um hlutverk sérkennarans og að lokum var lögð viðhorfskönnun fyrir þá þar sem kom fram að þeim fannst mikilvægt að þekkja birtingarmyndir stærðfræðiörðugleika og læra að greina þá. Einnig kom fram óöruggi þeirra gagnvart stærðfræði og að þeir vantreystu sér til að kenna hana. Við uppgjör fyrsta námskeiðsins sáum við að meiri áhersla hafði verið á að greina erfiðleika nemenda við stærðfræðinám en við ætluðum okkur en minni á hvernig börn læra stærðfræði sem okkur fannst þó mikilvægt að fjalla um. Við sáum að við þyrftum að færa áhersluna frá því að greina hvað nemendur geta ekki yfir á að greina styrkleika þeirra.
Ákveðið var að leita liðsinnis kennara á sviði stærðfræðimenntunar við Kennaraháskóla Íslands við að þróa námskeiðið. Árið 2004 hóf Jónína Vala Kristinsdóttir, lektor í stærðfræðimenntun við Kennaraháskóla Íslands, að kenna á námskeiðinu og færðist áherslan þá frá stærðfræðiörðugleikum og hvernig þeir birtast hjá nemendum yfir í að skoða þróun á skilningi barna almennt á tölum og reikniaðgerðum. Á fyrri hluta námskeiðsins var áfram lögð áhersla á stærðfræðiörðugleika en á síðari hluta þess voru kynntar rannsóknir á stærðfræðinámi barna. Þátttakendur unnu greiningarverkefni þar sem þeir skoðuðu hvernig börn leystu þrautir sem lagðar voru fyrir þau.

Frá upphafi kennslu okkar á námskeiðinu greindum við margþættan vanda sem sérkennarar í stærðfræði standa frammi fyrir. Hann snýr bæði að viðhorfum þeirra til sérkennslu og stærðfræðináms. Við ákváðum því að rannsaka hvernig námskeiðið þróaðist og höfum haft hugmyndir að rannsóknum á eigin kennslu að leiðarljósi. Tilgangur rannsóknarinnar var að læra um námskeiðið, reyna að skilja hvernig kennararnir á námskeiðinu læra að kenna öllum börnum stærðfræði og hvernig við getum brugðist við og nýtt þær niðurstöður þegar við skipuleggjum námskeiðið.

Í greininni verður einnig fjallað um fræðilegar forsendur sem við byggjum á við kennslu okkar og rannsókn okkar á kennslunni. Við gefum mynd af þróun námskeiðsins, þeim vinnubrögðum sem við notum og viðbrögðum nemenda við þeim. Við vörpum ljósi á hvernig við höfum nýtt rannsóknaraðferðina til að greina vandann og bregðast stöðugt við niðurstöðum okkar á uppbyggilegan hátt.

Rannsókn á eigin kennslu

Hamilton og Pinnegar (1998) telja að rannsóknir kennara á eigin kennslu gefi þeim tækifæri til þess að þróa nýjan skilning á námi og kennslu. Það að skoða eigin kennslu er rannsóknaraðferð í sjálfu sér. Það er engin ein rétt leið til að skoða kennslu sína heldur fer það eftir tilgangi rannsóknarinnar hvernig hún er framkvæmd (Pinnegar, 1998). Þess vegna þarf sífellt að hafa í huga samspilið á milli kennslu og rannsóknar því það gefur tækifæri til að þróa rannsóknaraðferðina og kennsluna jafnhliða (Loughran, 2007). Orðalagið rannsóknir á eigin starfi bendir til þess að um einstaklingsvinnu sé að ræða. Til þess að skoða kennslu frá nýju sjónarhorni er nauðsynlegt að vinna með öðrum og fá sjónarhorn þeirra á það ferli sem á sér stað. Loughran (1999) telur að rannsóknir kennara á eigin kennslu gefi gagnlegar upplýsingar um kennslu þar sem sjónarhorn þeirra sjálfra kemur fram. LaBoskey (2004) hefur dregið saman það sem hún telur einkenna rannsóknir á eigin starfi. Hún bendir á að markmiðið sé að bæta starfið og þess vegna eigi að afla gagna sem sýna framfarir. Rannsóknir á eigin kennslu byggjast á samvirkni og að rannsakandi beri niðurstöður sínar saman við hugmyndir annarra um nám og kennslu bæði, samstarfsfólks, nemenda og rannsóknarmanna.

Við ákváðum að rannsaka kennsluna okkar vegna þess að:

  • Með því að rannsaka þróun námskeiðsins, skipulagningu þess og kennslu okkar fáum við tækifæri til að skilja og skýra tengslin á milli þess að kenna um kennslu og að læra að kenna (Tidwell og Fitzgerald, 2004).

  • Rannsóknin er eðlilegt framhald af langtímasamvinnu okkar höfundanna um stærðfræðikennslu, kennararannsóknir og þróun í starfi (Berry og Loughran, 2002; Dalmau og Guðjónsdóttir, 2002; Guilfoyle, Placier, Hamilton, og Pinnegar, 2002).

  • Meginþættir í rannsóknum á eigin starfi, þ.e.a.s. sameiginleg og gagnrýnin ígrundun á kennslu og stöðug viðbrögð við greiningu og mati á gögnunum eru þær undirstöður sem námskeiðið byggist á (Conle, Louden, og Mildon, 1998; V. LaBoskey, Kubler, og Garcia, 1998; Lomax, Evans, og Parker, 1998).

Rannsóknarspurningarnar hafa breyst og þróast frá því að námskeiðið var fyrst kennt og byggist rannsóknin nú á eftirfarandi spurningum.

Hvernig getum við undirbúið kennara á sem bestan hátt til að kenna öllum nemendum stærðfræði? Til að fá sem skýrasta mynd af því sem við vildum rannsaka höfðum við eftirfarandi spurningar að leiðarljósi:

  • Hvernig getum við gefið kennurum tækifæri til að greina þekkingu sína og viðhorf til stærðfræði og stærðfræðikennslu?

  • Hvernig getum við kynnt fyrir þeim það sem einkennir þá sem eiga í erfiðleikum með stærðfræði án þess að einblína á erfiðleikana sem vandamál?

  • Hvernig getum við kennt þeim að greina hvernig nemendur þeirra læra stærðfræði?

Þessar spurningar hafa leitt okkur áfram og hjálpað okkur við að ígrunda kennsluna og greina þá þætti sem ganga vel og þá sem við þurfum að vinna betur með til þess að geta bætt kennslu okkur.
Við höfum safnað öllum gögnum sem tilheyra námskeiðinu og flokkað eftir árum, eðli verkefna og þeim meginþráðum sem birtast í gögnunum. Þessi flokkun hefur gert okkur kleift að bera saman og meta breytingarnar bæði frá ári til árs og samhliða kennslunni. Gagnaöflun og framkvæmd námskeiðsins eru tengd órjúfanlegum böndum og því eru á meðal þeirra gagna sem við höfum safnað: lesefni, verkefnalýsingar, fyrirlestrar, verkefni nemenda, umræður þeirra á WebCT og svör þeirra þegar námskeiðin eru metin. Við fundum reglulega um skipulag námskeiðsins og þróun þess og höfum haldið til haga vangaveltum okkar og samræðum. Þar sem ætlun okkar er að þróa námskeiðið eru greiningarþrepin og viðbrögð okkar við túlkun gagnanna mjög mikilvæg. Við höfum sett upp ákveðið ferli við að skrá gögnin, lýsa innihaldi þeirra, greina þau, túlka og meta. Wolcott (1994) telur að úrvinnslan geti aldrei verið línuleg heldur sé rannsóknarferlið eins og spírall þar sem hver þáttur er margendurtekinn og farið fram og til baka í rannsóknargögnunum og reynt að bregðast við niðurstöðum greiningar.

Stefnumið okkar

Við undirbúning námskeiðsins höfum við kynnt okkur rannsóknir í sérkennslufræðum og komist að því að þær byggjast flestar á atferlisfræðum. Olav Magne (2003) skoðaði yfir 5000 heimildir af ýmsum gerðum þar sem fjallað er um stærðfræðiörðugleika. Samkvæmt niðurstöðum hans er umfjöllun um hefðbundin reiknirit ríkjandi og lítil fjölbreytni í þeim námsaðstæðum sem skapaðar eru til stærðfræðináms í skólum. Leiðbeiningar til sérkennara í þessum heimildum mæla flestar með beinni kennslu og þjálfunarverkefnum. Svipaðar niðurstöður koma fram í öðrum heimildum en Marlowe og Page (2005) benda á að margir nemendur sem eiga í námserfiðleikum eyði meiri hluta skóladagsins í að vinna einhliða þjálfunarverkefni sem reyna lítið á hugann. Það sem þau telja þó öllu verra er að margir mæla með þessum aðferðum. Á fyrsta norræna þinginu þar sem fjallað var um stærðfræðiörðugleika ræddi Anna Kristjánsdóttir (2001) um hver væru algengustu vandamálin sem nemendur glímdu við í stærðfærði og varpaði fram þeirri spurningu hvort verið gæti að sérkennslan viðhéldi þeim með því að leggja áherslu á einhliða færniþjálfum í þeim þáttum sem nemendur hafa ekki náð tökum á. Hún sagði að rannsóknir bentu til þess að ákveðinn ruglingur ætti sér stað hvað varðar ástæður námserfiðleika og benti einnig á að þróa þyrfti viðmið við mat á færni í stærðfræði sem væru almennt viðurkennd. Sjöberg (2004) fjallar um mismuninn á þeirri sýn að nemendur séu með námsörðugleika og þeirri að nemendur eigi í erfiðleikum með nám. Hann bendir á að sú fyrri sé ríkjandi í skrifum um sérkennslumál. Ef nemandi lærir ekki á þann hátt sem eðlilegt er talið eru frávikin greind með aðferðum læknis- og sálarfræði. Fundið er út hvar veikleiki nemandans liggur og veiku þættirnir þjálfaðir. Ef hins vegar er litið þannig á að nemandinn eigi í erfiðleikum með nám er greint hvað það er í samspili hans og umhverfisins sem veldur því að hann nær ekki þeim markmiðum sem gert er ráð fyrir í námskrá. Þá er brugðist við með því að leita eftir því við hvaða aðstæður nemandinn lærir best.

Þrátt fyrir framfarir í heilarannsóknum og rannsóknum á erfðamengi mannsins undanfarna áratugi vitum við ennþá lítið um orsakir stærðfræðiörðugleika (O. Magne, 2006). Undanfarin ár hefur áherslan í skrifum um stærðfræðiörðugleika á Norðurlöndum verið á að finna leiðir til að bregðast við erfiðleikum nemenda með því að greina hæfni þeirra og byggja kennsluna á styrkleikum nemenda. Dalvang og Lunde (2006) hafa fjallað um þær ógöngur sem áhersla á að greina vandamál nemenda í stað þess að beina sjónum að styrkleika þeirra hefur leitt sérkennsluna í. Þau hafa sett fram líkan sem þau kalla áttavitalíkanið þar sem þau vísa veginn til að skapa nýjar námsaðstæður fyrir nemendur sem grundavallast á greiningu á þeim aðstæðum sem nemendur hafa búið við. Þá er tekið tillit til námshæfni nemenda, aðstæðna við kennslu og námsefnis. Þessir þættir eru greindir út frá viðmiðum um stærðfræðilega hæfni. Með stærðfræðilegri hæfni er átt við getu til að takast á við stærðfræði á markvissan og viðurkenndan hátt (Kristín Bjarnadóttir, 2003; Undervisningsministeriet, 2002).

Markmiðið með námskeiðinu er að undirbúa kennara í starfi til að vinna með nemendum, sem hafa ólíkar forsendur til náms, og fjölbreyttum nemendahópum, sem eiga ólík áhugamál, búa yfir mismunandi hæfileikum, fá mismörg tækifæri til að hafa áhrif og eru í raun ólíkir um allt sem varðar þá sem manneskjur (Fullan, 1999). Við gerum okkur grein fyrir að það hvað og hvernig við kennum um stærðfræðikennslu hefur mótandi áhrif á viðhorf kennara. Viðhorf þeirra hafa áhrif á kennslu þeirra og það er von okkar að við getum vakið kennarana á námskeiðinu til umhugsunar um kennsluhætti sína.

Í Aðalnámskrá grunnskóla, stærðfræði (Menntamálráðuneytið, 2007) er fjallað um helstu leiðir til að mæta þörfum ólíkra nemenda. Þar er lögð áhersla á að velja verkefni sem hægt er að glíma við á mismunandi getustigum, eru krefjandi án þess að ofbjóða og að allir nemendur bekkjarins geti fengist við þau út frá sínum forsendum. Enda þótt það geti valdið kennurum erfiðleikum að hafa nemendur með ólíkar forsendur til náms í skólastofunni getur það líka orðið uppspretta óteljandi námstækifæra og gullið tækifæri til þróunar í starfi. Það auðveldar kennurum að sjá að börn læra á mismunandi hátt, að framlag þeirra til námsumhverfisins er ólíkt og að tíminn sem þau þurfa til að læra er mislangur. Það auðveldar þeim líka að átta sig á að þeir þurfa að leggja fyrir fjölbreytt verkefni og leiðbeina nemendum, hverjum á sínum á forsendum (Carpenter og Fennema, 1993; Gardner, 1993; Tomlinson, 1999).

Parmar og Cawley (1997) hafa tekið saman viðmiðunarlista yfir þekkingu og færni sem kennarar þurfa að búa yfir sem kenna nemendum sem eiga við örðugleika í stærðfræði að stríða. Þar kemur meðal annars fram að mikilvægt er að kennarar geri sér grein fyrir eigin skilningi á stærðfræði, séu vel að sér um kennslufræði stærðfræðinnar og þekki vel meginmarkmið námskrár og námsefni í stærðfræði. Þeir telja mikilvægt að kennarar séu góðar fyrirmyndir nemenda sinna, skipuleggi námsumhverfi sem veitir nemendum tækifæri til að tengja stærðfræðinám sitt eigin lífi og starfi og hafi áhuga á að takast á við stærðfræðileg viðfangsefni með þeim. Að lokum benda þeir á að kennarar þurfi að taka tillit til hvers einstaks nemanda þegar kennsla er skipulögð og leggja fyrir fjölbreytt viðfangsefni þar sem allir nemendur geta fundið verkefni við sitt hæfi og leyst á þann hátt sem hentar hverjum og einum. Óraunhæft er að gera kröfur til kennara um að kenna fjölbreyttum nemendahópum ef þeir fá ekki viðeigandi undirbúning til þess. Nemendur læra á mismunandi hátt og ef kennarar taka ekki tillit til þess má búast við að einhverjir nemendur finni fyrir vanmætti sínum þegar þeir skilja ekki verkefnin sem þeir eiga að leysa (Sjöberg, 2004). Upphaf stærðfræðiörðugleika má oft rekja til þess að nemendur fá ekki kennslu við hæfi.

Lítil tengsl virðast vera á milli rannsókna á sérkennslu í stærðfræði og rannsókna á almennri stærðfræðikennslu. Við ákváðum að leita í smiðju þeirra sem rannsakað hafa stærðfræðinám barna almennt í þeirri trú að öll börn geti lært stærðfræði þó þau læri hana hvert á sínum forsendum. Við leituðum líka að rannsóknum á stærðfræðikennslu þar sem sú sýn er höfð að leiðarljósi að nemendur geti lært stærðfræði ef þeim eru búnar ákveðnar aðstæður til þess.

Rannsóknir á stærðfræðinámi barna

Strax á fyrstu námskeiðunum okkar um stærðfræðiörðugleika rákum við okkur á að kennararnir sem þátt tóku í námskeiðinu höfðu takmarkaða þekkingu á hvernig skilningur barna á stærðfræði þróast. Þess vegna ákváðum við árið 2004 að kynna fyrir þeim niðurstöður umfangsmikilla rannsókna sem gerðar voru við Wisconsinháskóla í Madison á árunum 1977–1983 á skilningi barna á tölum og reikniaðgerðum (Carpenter, Fennema og Franke, 1995; Carpenter og Moser, 1984).

Við kynntumst þessum rannsóknum á stærðfræðinámi fyrst sumarið 1995 þegar við fengum tækifæri til að taka þátt í námskeiði þar sem þær voru kynntar kennurum. Við vorum þá báðar grunnskólakennarar og höfðum því tök á að nýta þá þekkingu sem við öðluðumst á námskeiðinu í kennslu okkar. Á sama tíma vorum við líka báðar í framhaldsnámi í kennslufræðum og sjónarhorn okkar beggja beindist að því hvernig kennari getur lært af kennslu sinni. Við höfðum báðar langa reynslu af því að vinna með fjölbreytta nemendahópa og höfðum kynnst því að við gátum lært margt af því að hlusta á nemendur okkar. Þegar kennari skilur ekki útskýringar nemenda sinna er hann oft fljótur að dæma þær út frá sínum eigin skilningi. Við höfðum rekið okkur á að oft skorti okkur þekkingu til að skilja nemendur okkar (Jónína Vala Kristinsdóttir, 2006). Niðurstöður þessara rannsókna opnuðu augu okkar fyrir því hve ólík hugsun barna er og að það er mikilvægt að vera ekki of fljótur að dæma viðbrögð þeirra.

Á námskeiðinu lærðum við að greina hvernig börn skilja og leysa þrautir af mismunandi gerð og eins hvernig lausnaleiðir þeirra þróast. Lausnaleiðir barna þróast mishratt og öll þokast þau smátt og smátt af hlutbundnu stigi yfir á það stig að geta beitt hugarreikningi þó ekki sé alltaf um samfellt ferli að ræða (Carpenter o.fl., 1995; Carpenter, Fennema, Franke, Levi og Empson, 1999; Jónína Vala Kristinsdóttir, 2004; Jónína Vala Kristinsdóttir, 2006).

Rannsóknir á stærðfræðikennslu

Rannsóknirnar á skilningi barna á tölum og reikniaðgerðum við Wisconsin-háskóla voru markvisst kynntar kennurum. Haldin voru námskeið fyrir kennara og fylgst var með hluta þeirra í nokkur ár til að kanna hvernig þeim gekk að nýta sér þá þekkingu sem þeir öðluðust á námskeiðunum. Rannsóknin á þróun stærðfræðikennslu kennara gengur undir heitinu Cognitively Guided Instruction (CGI) og hefur það heiti verið þýtt á íslensku sem stærðfræðikennsla byggð á skilningi barna (SKSB). Eins og heitið ber með sér er hugmyndafræðin að baki rannsóknunum sú að kennarar þurfi að læra að greina hver skilningur nemenda þeirra er og nýta sér þá þekkingu í kennslunni (Carpenter, o.fl, 1999; Fennema, Franke, Carpenter, og Carey, 1993; Fennema, Carpenter, Franke, Levi, Jacobs og Empson, 1996). Rannsóknirnar leiddu í ljós að breytingar á kennsluháttum gerast ekki sjálfkrafa og það tekur langan tíma að þróa þá. Breytingar á viðhorfum kennaranna héldust í hendur við breytingar á kennsluháttum þeirra. Þegar kennararnir sáu að nemendur þeirra voru færir um að finna eigin lausnaleiðir ef þeir fengu viðfangsefni sem höfðu merkingu fyrir þá þorðu þeir að treysta á hugsun nemenda sinna. Ef kennarar þróa með sér skilning á hugsun nemenda við stærðfræðinámið öðlast þeir þekkingu til að geta breytt kennslu sinni, en breytingin verður ekki nema kennararnir noti þekkingu sína til að reyna að skilja hugsun nemenda sinna (Fennema o.fl., 1996; Jónína Vala Kristinsdóttir, 2006).

Samhliða rannsóknum á starfi kennaranna í Wisconsin var fylgst með árangri nemenda þeirra. Í ljós kom að nemendum þessara kennara (tilraunahópi) gekk mun betur að leysa flókin dæmi en nemendum í viðmiðunarhópi. Þeir nemendur tilraunahópsins sem sýndu litla þekkingu í upphafi kennslunnar tóku mestum framförum af öllum. Nemendur tilraunahópsins voru öruggari með sig hvað varðaði áræðni við að leysa þrautir en hinir og höfðu meiri trú á að þeir gætu fundið eigin leiðir til að leysa þær. Þeir sýndu líka mun meiri skilning á stærðfræðilegum viðfangsefnum en hinir nemendurnir. Fleiri rannsóknir á árangri nemenda kennara sem kynnt hafa sér þessar rannsóknir gefa sömu vísbendingar (Carey, Fennema, Carpenter og Franke, 1995; Carpenter o.fl., 1999; Peterson, Fennema og Carpenter, 1991; Villasenor og Kepner, 1993).

Þessar niðurstöður renna stoðum undir það að mikilvægt er fyrir alla nemendur, ekki síst þá sem standa höllum fæti í náminu, að fá að treysta á eigin hugsun við nám. Kennarar þurfa hjálp við að greina hvernig hver einstakur nemandi lærir til að geta tekið ákvarðanir um hvernig best sé að skipuleggja kennslu fyrir nemendur með ólíkar forsendur til náms. Í bókinni Making sense – teaching and learning mathematics with understanding (Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Oliver og Human, 1997) eru dregnar saman niðurstöður nokkurra rannsókna á stærðfræðinámi barna og kennslu kennara sem ná árangri við stærðfræðikennsluna. Höfundarnir setja fram viðmið fyrir kennara um hvernig skapa má aðstæður til þess að nemendur læri stærðfræði þannig að hún fái merkingu í huga þeirra og hafi gildi fyrir þá. Í viðmiðunum leggja þeir áherslu á að allir nemendur eigi rétt á að fást við viðfangsefni við hæfi og vera metnir að verðleikum. Það er hlutverk kennarans að skapa aðstæður í skólanum til að nemendur læri eitthvað sem hefur gildi fyrir þá.

Að virða hugsun allra nemenda

Við veltum fyrir okkur hvernig við getum hjálpað kennurunum sem taka þátt í námskeiði okkar að virða hugsun nemenda sinna og treysta því að þeir geti þróað eigin skilning á hugtökum stærðfræðinnar. Margir kennarar trúa því að duglegir nemendur geti fundið sínar eigin lausnaleiðir en treysta því ekki að seinfærir nemendur séu færir um það. Þeim finnst að það sé verið að sóa tíma þeirra í eitthvað sem þeir hafi ekki gagn af og þeir verði langt á eftir hinum nemendunum í námsefninu. Kennarar virðast margir treysta því að það að hafa gott vald á hefðbundnum reikniritum (traditional algorithms) muni tryggja það að börnin hafi góðan grunn að byggja á við að framkvæma þá útreikninga sem þau þurfa að vera fær um í daglegu lífi sínu.

Fosnot og Dolk (2001) fjalla í bók sinni Young mathematicians at work um hefðbundin reiknirit og færni í útreikningum. Hefðbundin reiknirit, það að taka til láns og geyma, voru fundin upp snemma á 9. öld. Við eigum í dag miklu öflugri reiknitæki til að nota við útreikninga. Börn þurfa að vera fær um að meta hvort svarið sem vasareiknirinn gefur geti verið rétt. Þau þurfa líka að vera góð í hugarreikningi og vita hvernig hægt er að reikna á skilvirkan hátt. Hefðbundin reiknirit byggjast á því að reiknað er í hverju sæti fyrir sig og tölur svo færðar yfir í næsta sæti (taka til láns og geyma). Þegar notuð eru hefðbundin reiknirit við útreikninga þarf aðeins að hugsa um tölurnar sem einingar. Með einhliða þjálfun í notkun þeirra er hætta á að nemendur hugsi aðeins um tölurnar sem einingar, en ekki samsettar úr mörgum einingum. Slík þjálfun hjálpar ekki til við skilning á tugakerfinu sem sætiskerfi og getur beinlínis komið í veg fyrir að skilningur á því þróist. Hefðbundin reiknirit er hægt að nota við útreikning á öllum tölum en þau eru oft langt frá því að vera öflugasta leiðin við útreikninga (Van de Walle, 2004).

Fosnot og Dolk leggja áherslu á að börn læri að þróa sínar eigin leiðir við útreikninga.

Með því að hverfa frá því að kenna hefðbundin reiknirit erum við ekki að fara fram á að börnin læri minna, við erum að fara fram á að þau læri meira. Við erum að fara fram á að þau hugsi og vinni eins og stærðfræðingar, að þau líti á tölurnar áður en þau reikna, að þau hugsi í stað þess að framkvæma vélrænt ferli ... Með því að hverfa frá hefðbundnum reikniritum erum við líka að fara fram á að kennararnir hugsi stærðfræðilega. Við erum að fara fram á að kennarar þrói sínar eigin hugarreikningsaðferðir til þess að þeir geti þróað þær með nemendum sínum. Kennarar eru á mörkum gamalla tíma og nýrra (Fosnot og Dolk, 2001).

Tilvísunin endurspeglar reynslu okkar af samræðum við marga grunnskólakennara. Þeir eru hræddir um að þeir séu að svíkjast um að kenna nemendum færni, sem nauðsynlegt er fyrir alla að hafa vald á, ef þeir sleppa því að kenna þeim að nota hefðbundin reiknirit.

Niðurstöður rannsókna á börnum kynntar kennurum
á námskeiðinu

Sú reynsla sem við öðluðumst við að nýta okkur þekkingu á stærðfræðinámi barna í kennslu okkar í grunnskóla hvatti okkur til að kynna rannsóknirnar fyrir kennurum á námskeiðinu. Við kynninguna var stuðst við efni bæði úr rannsóknargreinum og bókinni Children’s Mathematics – Cognitively Guided Instruction sem var lesefni á námskeiðinu (Carpenter o.fl., 1999). Bókinni fylgja myndbandsupptökur af börnum sem leysa þrautir og í henni er að finna bæði frásagnir af lausnaleiðum nemenda og myndir af skráningu þeirra. Auk þess notuðum við gögn úr okkar eigin kennslu í 1.– 4. bekk, bæði myndbandsupptökur og myndir af lausnum nemenda. Við hvöttum kennara til að greina lausnaleiðir barnanna sem þeir skoðuðu og velta fyrir sér hvernig kennari getur stutt hvert einstakt barn í námi sínu.
Við ákváðum að láta þátttakendur á námskeiðinu semja þrautir til að leggja fyrir tvö börn og að greina lausnaferli þeirra. Þeir nýttu sér upplýsingar úr rannsóknunum til að semja þrautir af ólíkri gerð og völdu verkefni sem þeir töldu að börnin myndu skilja og gætu leyst, en væru þó ekki of auðveld fyrir þau. Þeir voru hvattir til að semja ólíkar tegundir af þrautum til þess að örva nemendur til að beita fjölbreyttum leiðum við að leysa þær.

Í skýrslum þátttakendanna kom í ljós að margir þeirra sýndu góðan skilning á þeim lausnaleiðum sem börnin notuðu og voru færir um að greina hugsun þeirra við að leysa verkefnin. Við greininguna nýttu þeir sér lýsingar á lausnaleiðum barna sem kynntar eru í lesefninu. Margir voru mjög næmir fyrir hvað börnin gáfu til kynna um hugsun sína með því sem þau sögðu og gerðu. Í mörgum frásögnum kom líka fram að kennararnir voru fljótir að átta sig á ef orðalagið á þrautunum olli erfiðleikum og þá umorðuðu þeir textann. Það kom líka fram að stundum áttuðu kennararnir sig á að viðfangsefnin sem þrautirnar fjölluðu um voru nemendum framandi eða að tölurnar voru annað hvort of háar eða of lágar og þá sömdu þeir nýjar sögur þó þeir breyttu ekki uppbyggingu þrautarinnar. Flestir kennararnir sömdu margar ólíkar þrautir og gerðu sér góða grein fyrir þyngdarstigi hverrar þrautar. Þeir voru fljótir að átta sig á hvaða þraut væri skynsamlegt að leggja næst fyrir barnið út frá greiningu sinni á viðbrögðum þess við fyrri þrautum.
Halla samdi nokkrar þrautir af ólíkri gerð til að leggja fyrir tvö sjö ára gömul börn, stúlku og dreng. Þrautirnar fjölluðu um leikföng. Stúlkan leysti allar þrautirnar og sýndi fjölbreyttar leiðir við lausnir sínar. Drengurinn réð ekki eins vel við þær. Hann gat ekki leyst fyrstu þrautina sem var um Rúnar sem átti níu leikfangakalla og fékk fimm í viðbót í afmælisgjöf. Halla brást þannig við að hún lagði strax fyrir hann þraut af sömu gerð, en með mun lægri tölum. Drengurinn gat leyst þá þraut og þá lagði Halla fyrir hann enn eina þraut af sömu gerð með lágum tölum og leysti hann þrautina auðveldlega. Þá fyrst hækkaði Halla tölurnar og lagði fyrir hann flóknari þrautir sem hann leysti allar með því að telja hluti sem hann hafði við höndina. Halla greindi strax í hverju vandi drengsins lá og notfærði sér þekkingu sína á ólíkum dæmagerðum og þyngdarstigi þeirra til þess að velja verkefni til að leggja fyrir drenginn. Stúlkan brást við eins og hún hafði gert ráð fyrir og þess vegna þurfti hún ekki að breyta þrautunum fyrir hana.

Sumir kennararnir virtust þó eiga í erfiðleikum með að fylgja hugsun barnanna og voru of fljótir að grípa inn í lausnaferli þeirra og leiðbeina þeim um hvernig best væri að reikna ef þau voru lengi að leysa verkefnið. Þeim reyndist erfitt að treysta því að börnin gætu notað sína eigin þekkingu og skilning á verkefninu til að leysa það. Í stað þess að spyrja börnin spurninga sem hjálpuðu þeim til að átta sig á um hvað var spurt útskýrðu þeir fyrir þeim hvernig best væri að leysa þau.

Væntingar kennaranna um það hvernig best væri að leysa þrautina höfðu líka áhrif á hvernig kennararnir greindu lausnir barnanna. Eftirfarandi dæmi skýrir þetta. Tveir kennarar lögðu verkefni fyrir Birtu sem var átta ára gömul. Annar kennarinn leiddi samræður við Birtu og hinn kennarinn var athugandi. Verkefnið var eftirfarandi:

Jónas hljóp þrjá hringi í kringum skólann. Bjartur hljóp fjórum sinnum oftar í kringum skólann en Jónas. Hve marga hringi hljóp Bjartur í kringum skólann?

Kennararnir skrifuðu í skýrslu sinni um rannsóknina að Birta hefði talið á fingrum sér en gáfu engar upplýsingar um hvernig hún taldi. Svar hennar var 15. Þegar kennararnir báðu hana að útskýra hvernig hún fann svarið sagði hún: „Ég taldi 3, 6, 9, 12, 15“. Um leið og hún sagði 15 leiðrétti hún sig og sagði að svarið væri 12. Í greiningu sinni á lausn Birtu skrifuðu kennararnir: „Birta veit ekki að sinnum þýðir að þú þarft að margfalda.“

Birta sýndi að okkar mati mjög góðan skilning á verkefninu og gerði sér grein fyrir að til þess að finna hve mikið fjórum sinnum þrír eru, þá þurfti hún að leggja þrjá saman fjórum sinnum, eða telja þriðju hverja tölu. Kennararnir gerðu ráð fyrir að Birta myndi notfæra sér margföldunartöfluna þegar hún heyrði orðið sinnum og áttuðu sig ekki á hve snjöll lausnaleið hennar var. Af skrifum þeirra að dæma má ráða að þeir telji að til þess að geta orðið duglegur að reikna þá þurfi að kunna staðreyndir utan bókar og þekkja orðin sem segja þér hvað á að gera. Þeir gerðu sér ekki grein fyrir að það var mikilvægt að skoða hvernig Birta taldi á fingrum sér til þess að geta greint hvernig hún hugsaði lausnina. Þeir skildu heldur ekki að Birta leiðrétti svar sitt þegar hún áttaði sig á að hún hafði bætt þremur við einu sinni of oft. Birta sýndi að okkar mati með lausn sinni að hún gerði sér grein fyrir að hún þurfti að telja þriðju hverja tölu fjórum sinnum, en það eru einmitt tölurnar í þrisvar sinnum töflunni (Hafdís Guðjónsdóttir og Jónína Vala Kristinsdóttir, 2006).

Rannsókn okkar nýtt til að bæta námskeiðið

Við vorum ánægðar með hve vel kennurunum á námskeiðinu tókst til við að leggja verkefni fyrir nemendur og greina skilning þeirra. Við söknuðum þess þó að hafa ekki tækifæri til að ræða greiningu þeirra við þá. Verkefninu skiluðu þeir í lok námskeiðsins og höfðum við því eingöngu tök á að bregðast við úrlausnum þeirra með skriflegri endurgjöf. Við ákváðum því að á næsta námskeiði myndum við byrja á þessum þætti til þess að þeir fengju tækifæri til þess að ræða niðurstöður sínar seinni hluta námskeiðsins.

Námskeiðið 2005 byrjaði því á kynningu á stærðfræðinámi barna. Kennararnir lögðu þrautir fyrir nemendur í framhaldi af henni, greindu lausnir þeirra og skiluðu um það skýrslu líkt og á námskeiðinu 2004. Við lögðum meiri áherslu en fyrr á að höfða til eigin reynslu kennaranna þegar við kynntum niðurstöður rannsóknanna á skilningi barna á tölum og reikniaðgerðum. Við hvöttum þá til að geta sér til um hvernig börn myndu leysa ákveðin verkefni. Þá þurftu kennararnir að kalla fram í hugann dæmi um lausnir nemenda sinna á viðfangsefnum og máta við það sem við lögðum fyrir þá. Við gáfum þeim líka tíma til að semja viðfangsefni sem heppilegt væri að leggja fyrir nemendur á ólíkum aldri.

Við vorum enn að leita leiða til að hjálpa kennurunum að ígrunda eigin viðhorf til stærðfræðináms- og kennslu. Við ákváðum að nýta okkur hugmyndir um dæmisögur og hvetja þá til að skrá sögur úr eigin kennslustund og greina markvisst það sem þar kom fram. Dæmisögur eru frásagnir úr starfi kennara sem þeir skrifa til þess að hjálpa sér að ígrunda (Kruger og Cherednichenko, 2006). Þeir greina ákveðin viðfangsefni og raunveruleg vandamál í starfi sínu. Í dæmisögunum er ákveðinn atburður eða röð atburða í brennidepli. Dæmisögurnar eru ítarlegar og með nákvæmum lýsingum. Til að greiða fyrir umræðum og greina lykilatriði er vitnað í það sem nemendur eða kennarar segja. Sjónrænar vísbendingar hjálpa kennurum að sjá nemendurna og málefnið fyrir sér. Með vel ígrundaðar upplýsingar í höndunum eru kennarar betur í stakk búnir til að taka ákvörðun um aðgerðir eða viðbrögð í kennslu sinni.

Skýrslur kennaranna um greiningu þeirra á lausnum barna voru nákvæmari en árið áður. Flestir byrjuðu á að gefa góða lýsingu á börnunum sem þeir lögðu verkefnin fyrir og greindu frá þeim upplýsingum sem þeir höfðu um þau. Þeir sömdu þrautir með tilliti til þeirrar vitneskju sem þeir höfðu um stærðfræðiþekkingu nemendanna og áhugamál þeirra. Erla segir í greinargerð sinni: „Þegar samdar voru þrautir fyrir Pétur var það haft til hliðsjónar að þetta væri drengur með stærðfræðierfiðleika. Þrautirnar þyrftu því að vera með einföldu orðalagi og tengjast reynslu hans“.

Við sáum líka dæmi um að kennararnir sömdu of einfaldar þrautir fyrir börnin og voru ekki viðbúnir að leggja fyrir þyngri þrautir ef þeir sáu að þrautirnar voru of einfaldar. Sumir voru þó viðbúnir með margs konar þrautir og völdu ýmist einföld eða flókin verkefni til að leggja fyrir börnin eftir að þeir sáu fyrstu viðbrögð þeirra.

Erla var áhugasöm um að ná góðum tökum á því að greina lausnaleiðir nemenda sinna. Hún lýsti lausn Péturs á dæminu:

Palli átti 73 krónur. Hann eyddi 55 krónum í nammi. Hve margar átti hann eftir?

„Hann skrifaði dæmið á blað og notaði hefðbundið reiknirit og sagði svo 22. Ég spurði hann hvernig hann hefði fengið það út. Þá sagði hann að 70–50 væru 20 og 5–3 væru 2.“ Við endurgjöf til Erlu skrifuðum við að áhugavert hefði verið að fá nánari lýsingu á hvernig Pétur reiknaði dæmið. Lýsingin sagði okkur ekki hvernig hann sýndi útreikninga á blaðinu og því var erfitt að átta sig á hvernig hann fann lausnina. Svarið sem hann gaf við spurningu Erlu gaf ekki til kynna að hann hefði notað hefðbundið reiknirit því þá er fyrst dregið frá í einingasætinu og svo í tugasætinu. Erla brást við umsögn okkar og við áttum nokkrum sinnum samræður við hana um lausn Péturs á umræðuvef námskeiðsins. Það sýndi okkur að Erlu var umhugað um að greina skilning Péturs á verkefninu og í hverju vandi hans fólst.

Í verkefni sem Erla vann seinna um sumarið valdi hún að skrifa um tengsl lestrar- og stærðfræðiörðugleika. Pétur átti við lestrarörðugleika að stríða og hana langaði að greina hvort hún sæi samband milli þeirra erfiðleika sem hún hafði greint hjá honum í lestrinum og færni hans í stærðfræði. Erla sýndi í verkefnum sínum á námskeiðinu að hún nýtti öll tækifæri sem hún hafði til að kynna sér hvernig hún gæti brugðist við námserfiðleikum Péturs. Hún notfærði sér að leggja fyrir hann verkefni og greina lausnir hans. Hún fékk viðbrögð við greiningu sinni og sóttist eftir að ræða þau við kennara sína. Hún hélt áfram að lesa sér til um námsörðugleika barna, bæði lestrar- og stærðfræðiörðugleika, með það að markmiði að reyna að skilja hvernig hún gæti hjálpað Pétri við nám sitt. Hún hafði áhuga á að kynna sér hvort tengsl væru milli lestrar- og stærðfræðiörðugleika og ef svo er í hverju þau eru þá fólgin. Að okkar mati vann Erla afar faglega á námskeiðinu. Henni tókst að nýta sér reynslu úr eigin kennslu sem hvata til að afla sér meiri þekkingar og læra að greina hvernig nemendur hennar læra.

Umbætur árið 2006

Í mati kennaranna á námskeiðinu 2005 nefndu nokkrir þeirra að þeim hefði fundist of lítil áhersla á stærðfræðiörðugleika á námskeiðinu. Þetta kom okkur á óvart því við drógum ekki úr umfjöllun um þá, færðum hana einungis yfir á seinni hluta námskeiðsins. Okkur varð ljóst að sumir kennararnir sáu ekki tilgang með því að læra að greina hvernig hugsun barna þróast við stærðfræðinám og fannst mikilvægara að læra að greina í hverju vandi þeirra nemenda felst sem gengur illa að læra stærðfræði. Við ákváðum því að byrja á kennurunum sjálfum og fá þá til að greina hvernig þeir hugsa þegar þeir leysa stærðfræðiþrautir. Við lögðum fyrir þá eftirfarandi verkefni.

Sigga á tíu hunda, íslenska fjárhunda og Labrador hunda. Á sunnudögum fá þeir hundakex. Labradorinn étur sex hundakex í einu en íslenski hundurinn lætur sér nægja fimm kex. Í lok veislunnar eru þeir búnir með 56 kex samtals.

Hve marga íslenska hunda á Sigga og hve marga Labrador hunda?

Við hvöttum kennarana til að byrja á að hugsa um þrautina hver fyrir sig og ræða svo við sessunauta sína um hvernig þeir leystu hana. Þeir kynntu svo lausnaleiðir sínar fyrir öllum hópnum. Í kynningunum komu fram fjölbreytilegar leiðir. Sumir byrjuðu á að giska á ákveðinn fjölda og röktu sig svo áfram þar til lausnin var fundin, aðrir teiknuðu kexin og skiptu þeim á hundana og nokkrir skráðu dæmið sem tvær jöfnur með tveimur óþekktum stærðum og leystu jöfnurnar saman. Sumir notfærðu sér líka að vita að 6∙6=36 og að tölurnar í fimm sinnum töflunni enda allar á núll eða fimm. Í samræðum kennaranna kom í ljós að þeir höfðu ekki gert sér grein fyrir hve margar ólíkar leiðir hægt var að fara til að leysa þessa þraut og vangaveltur spunnust um hvernig börn myndu leysa hana. Einnig var rætt um hve ung börn gætu leyst þrautina og hvaða aðferðir börn á ólíkum aldri myndu nota.

Margir kennaranna lögðu þrautina fyrir börn sín eða nemendur þegar heim var komið og jafnvel vini og vandamenn. Það spunnust skemmtilegar umræður um hana á umræðusvæðinu á WebCT og var greinilegt að þessi reynsla kennaranna af því að greina eigin lausnaleiðir varð þeim hvati til þess að skoða hvernig aðrir leystu þessa þraut. Kennararnir voru líka duglegir að leggja aðrar þrautir, sem kynntar voru í lesefni námskeiðsins, fyrir nemendur sína og eigin börn og sögðu frá lausnum þeirra. Þetta var í fyrsta sinn sem svo líflegar umræður sköpuðust á þessu námskeiði um þrautir og hvernig börn leysa þær. Björk skrifaði eftirfarandi:

Það sem mér fannst mjög merkilegt í innilotunni var þegar við reiknuðum dæmið á mismunandi og ólíka vegu. Þá hugsaði ég sem svo: ef við getum reiknað ólíkt þá geta börnin það líka og örugglega á fleiri vegu en við. Þau uppgvötva hjá sér aðferð sem þau skilja og geta jafnvel sagt frá hvernig þau gerðu það. Það eykur skilninginn hjá þeim og ef þau uppgvötva eitthvað sjálf þá muna þau það líka betur. Síðan nýta þau sér þetta jafnvel óafvitandi í ýmsu öðru í lífinu (lærdómnum) og venjast að sjá ólíkar hliðar og uppgvöta „falda“ hlið á einhverju. Þau eru opnari, af því að þeirra skilningur var virtur.

Og Þóra deildi með okkur samskiptum sínum við son sinn:

Ellefu ára sonur minn var að byrja í vorprófunum í dag og var einmitt að fara í stærðfræðipróf sem fyrsta próf. Hann er ágætur námsmaður og klár í stærðfræði en orðadæmi hafa alltaf vafist mest fyrir honum. Í morgun þegar hann var að borða morgunmatinn spurði ég hann hvort hann væri tilbúinn í prófin, kvað hann svo vera en sagðist samt alltaf vera slakastur í orðadæmunum svo ég lagði fyrir hann „kexveisluna“ margumtöluðu. Hann las hana einu sinni yfir, hugsaði stundarkorn og skrifaði svo niður 4 íslenskir og 6 labradorar. Ég bað hann að skrifa niður fyrir mig hvernig hann hugsaði það og hann sagði svo:

5∙5+6∙5=55 en þá vantar einn til viðbótar
svo gerði ég bara
4∙5=20 og 6∙6=36
36+20=56

Það sem mér fannst merkilegt við þetta hjá honum var að þegar ég leysti þrautina þá þurfti ég að skrifa dæmið niður hjá mér til að sjá það og var snögg að því en hann skrifaði aldrei neitt hjá sér og leysti það á innan við 30 sek. Ég vissi með það sama að ég þurfti ekkert að vera að hafa áhyggjur af honum og orðadæmunum. Hann rúllar þessu upp ef hann gefur sér tíma.

Í skýrslum kennaranna um greiningu þeirra á lausnaleiðum nemenda kom í ljós að þeir áttu flestir auðvelt með greininguna. Þeir gerðu sér líka mjög vel grein fyrir hvernig þrautir þeir vildu velja fyrir nemendurna og hve flóknar þær þurftu að vera. Í niðurstöðum sínum skrifuðu Gunnar og Hanna m.a.:

Verkefnin sem við sömdum og lögðum fyrir eru í anda þeirra verkefna sem finna má í grunnbók námskeiðsins. Eftir að við lögðum þau fyrir hafa vaknað margar spurningar um það hvernig við hefðum getað mótað þær öðruvísi til að fá fram fleiri og fjölbreyttari úrlausnir frá nemendum. Við hefðum t.d. viljað kanna margföldun og deilingu nánar, einnig snúnari þrautalausnir og e.t.v. samsettar þrautir, en taka þarf mið af því að við erum að greina nemendur eftir þessum flokkum í fyrsta skipti.

Gunnar og Hanna skildu vel hvað þau lærðu af að leggja verkefnin fyrir nemendur og ræða við þá um lausnir þeirra. Þau nýttu dæmisögu sína um lausnaferli nemenda til að greina og meta þekkingu þeirra og skilning og þau gera sér grein fyrir hvernig þau geta nýtt niðurstöður sínar til að skipuleggja kennslu.

Leiðarljós til framtíðar

Við stóðum frammi fyrir ögrandi verkefni og það leiddi til þess að við skoðuðum skipulag og stefnu námskeiðsins niður í kjölinn. Við þurftum bæði að hafa í huga væntingar nemenda okkar til námskeiðsins og það hlutverk sem þeim er ætlað að takast á við í kennslu sinni. Þrátt fyrir að almennt er viðurkennt að mikilvægt sé að nemendur geti tekist á við fjölbreytt stærðfræðileg verkefni í daglegu lífi þá er það oft svo að nemendur sem eiga í erfiðleikum með stærðfræði fá fyrst og fremst hefðbundin verkefni þar sem megináherslan er á að þeir þjálfist í að nota ákveðin reiknirit, þ.e. að leggja saman, draga frá, margfalda og deila (Woodward og Montague, 2002). Reynsla okkar af samstarfi við grunnskólakennara er í meginatriðum sú sama. Mörgum kennurum finnst eðlilegt að flestir nemendur geti fundið eigin lausnaleiðir en treysta því ekki að nemendur sem glíma við stærðfræðiörðugleika séu færir um það. Þeir leggja áherslu á að kenna nemendum hefðbundin reiknirit í þeirri von að þeir geti nýtt sér þau í daglegu lífi. Megináherslan í rannsóknum á stærðfræðiörðugleikum hefur verið á læknis- og taugafræðilega þáttinn en minni áhersla lögð á að túlka þá út frá sjónarhorni, félags-, sál- og kennslufræði (Sjöberg, 2004).

Darling-Hammond (1998) hefur haldið því fram að kennsluaðferðir kennara, það námsefni sem þeir nota og það hvernig þeir nota það, hafi afgerandi áhrif á nám nemenda. Ef stærðfræði á að vera aðgengileg fyrir alla nemendur er nauðsynlegt að stærðfræðikennarar, sérkennarar og rannsakendur á háskólastigi starfi saman. Þeir sem kenna börnum þurfa að eiga greiðan aðgang að rannsóknarniðurstöðum og læra að nýta þær. Þekking á stærðfræði felst ekki bara í að vera fær um að reikna eftir forskrift. Skilningur á ákveðnum grundvallaratriðum þarf að vera fyrir hendi og kennarar þurfa að þekkja leiðir til að skapa aðstæður fyrir nemendur til að öðlast hann.

Með markvissri greiningu á kennslu okkar á námskeiðinu höfum við öðlast reynslu sem hefur gert okkur kleift að þróa kennsluhætti okkar á námskeiðinu. Með því að kynna fyrir kennurunum hvernig hægt er að nota dæmisögur úr eigin kennslu til að ígrunda það sem fram fer í kennslustofunni og læra af því gáfum við þeim tæki til að greina og meta starf sitt. Þeir kynntu sér ferli við að skoða heildaraðstæður nemenda með sérstöku tilliti til stærðfræðináms. Í þessu ferli reynir kennari að greina sterkar hliðar og áhugamál nemandans. Við kynntum fyrir þeim niðurstöður rannsókna á þróun stærðfræðiskilnings barna til þess að þeir geti nýtt sér þær við að greina nemendur sína. Til þess að geta tekið ígrundaða ákvörðun um kennslu sína þurfa kennarar að geta nýtt fræðilega þekkingu sína til að geta greint það sem fram fer í kennslustofunni.

Áður byrjaði námskeiðið á því að kynna fyrir kennurum rannsóknir á stærðfræðiörðugleikum nemenda. Við breyttum skipulagi og inntaki námskeiðsins og byrjuðum á því að kynna fyrir þeim niðurstöður rannsókna á hvernig hugsun barna þróast við stærðfræðinám. Sú breyting skilaði vissum árangri en við vorum samt ekki sáttar við hann. Næsta skref var að leggja fyrir kennarana þraut til þess að auðvelda þeim að greina hvernig þeir hugsa þegar þeir leysa þrautir. Í umræðum nemenda á WebCT og greiningarverkefnum þeirra kom í ljós að þetta verkefni hafði opnað fyrir mörgum þeirra nýja sýn á hvernig fólk hugsar þegar það leysir stærðfræðiþrautir og að hugsun þess byggist á þeirri reynslu og þekkingu sem það býr yfir.

Þegar við færðum áhersluna á rannsóknir á stærðfræðiörðugleikum, upphaflega á síðari hluta námskeiðsins, kom fram gagnrýni á að áhersla á þær væri of lítil. Sú gagnrýni kom ekki fram í umræðum árið 2006. Við sáum hins vegar í fyrsta sinn að kennararnir tengdu nám sitt á námskeiðinu og það sem þeir voru að lesa um við kennslu annarra námsgreina og reynslu sína.

... Ég hef lært svo margt og stærsta upplifunin er sú að uppgötva að hægt er að reikna dæmi á ótrúlega marga vegu og hve börn nota misjafnar aðferðir og allskonar hjálparmiðla til þess. ... Ég þjálfa fatlaða í sundi og hef alltaf haft þá kenningu og boðað hana stíft að það skipti í raun ekki máli hvernig þú syndir heldur er miklu mikilvægara að geta synt. Einstaklingur sem er aflimaður eða spastískur getur aldrei synt „fullkomið“ sund eins og við þekkjum það og það væri fáránlegt að fara fram á það. Við ætlumst til þess að allir læri flestar sundaðferðir en það þurfa ekki allir að vera frábærir í þeim, tilgangurinn er hins vegar sá að nemandi geti nýtt sér sundgetuna til að forða sér frá drukknun og svo sem líkamsþjálfun og fyrir örfá sem afreksþjálfun. Á sama hátt viljum við að allir geti reiknað en með sínum aðferðum.

Við gerum okkur grein fyrir að þátttakendurnir á námskeiði okkar þurfa tíma til að ígrunda skilning sinn á hugsun nemenda. Markmið okkar er að hjálpa þeim á þeirri leið með því að kynna fyrir þeim niðurstöður rannsókna á því hvernig hugsun barna um stærðfræði þróast og hjálpa þeim að skilja hvernig þeir geta nýtt þessa þekkingu í vinnu sinni með börnum. Við teljum að margir kennaranna á námskeiðum okkar hafi náð langt á þessari braut og þau dæmi sem við höfum gefið úr verkefnum þeirra endurspegla það. Dæmin úr skrifum kennaranna á síðasta námskeiðinu sýna að þeir gera sér grein fyrir að þeir geta treyst á hugsun nemenda sinna. Til þess að þróast í starfi þarf kennarinn að fá tækifæri til að ræða hugmyndir sínar og reynslu við aðra með það að markmiði að nemendur læri stærðfræði þannig að hún öðlist merkingu í huga þeirra og hafi gildi fyrir þá.

Næsta skref í þróunar- og rannsóknarferli okkar er að gefa þátttakendum betri tíma til að ræða hugmyndir sínar um nám og kennslu á grundvelli eigin rannsókna á námi nemenda sinna. Til þess að þekkingin úr skólastofunni verði meira en reynslusögur þarf að setja hana í fræðilegt samhengi (Hamilton, 2004). Í greininni höfum við sagt frá reynslu okkar af háskólakennslu í þeim tilgangi að opna fyrir umræður um háskólakennslu, sérkennslu og stærðfræðinám.

Heimildir

Anna Kristjánsdóttir. (2001). Situation og problemstillinger i Island vedrörende matematikvanskeligheder. Í T. Dalvavang, J. Formo, O. Lunde og O. Bekken (ritstj.) En matematikk for alle i en skole for alle (bls. 59–61). Kristjansand: Info West forlag.

Berry, A. og Loughran, J. (2002). Developing an understanding of learning to teach in teacher education. Í J. Loughran og T. Russell (ritstj.), Improving teacher education practices through self-study (bls. 13–29). London: Routledge/Falmer.

Carey, C. A., Fennema, E., Carpenter, T. og Franke, M. L. (1995). Equity and mathematics education. Í W. Secada, E. Fennema og L. Byrd (ritstj.), New direction in Equity for mathematics education (bls. 93–125). New York: Teachers College Press.

Carpenter, T. og Fennema, E. (1993). Using children's mathematical knowledge in instruction. American Educational Research Journal, 30, 555–583.

Carpenter, T., Fennema, E. og Franke, M. L. (1995). Children's thinking about whole numbers. Madison: University of Wisconsin: Wisconsin Center for Educational Research.

Carpenter, T., Fennema, E., Franke, M. L., Levi, L. og Empson, S. B. (1999). Children's mathematics: Cognitively guided instruction. Portsmouth, NH: Heineman.

Carpenter, T. og Moser, J. M. (1984). The Aquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education, 15(3), 179–202.

Conle, C., Louden, W. og Mildon, D. A. (1998). Tensions and intentions in group inquiry: A joint self-study. Í M. L. Hamilton (ritstj.), Reconceptualizing teaching practice: Self-study in teacher education (bls. 178–194). London: Falmer Press.

Dalmau, M. C. og Guðjónsdóttir, H. (2002). Framing professional discourse with teachers. Professional working theory. Í J. Loughran og T. Russell (ritstj.), Improving teacher education. Practices through self-study (bls. 102–129). London: Routledge Falmer.

Dalvang, T., og Lunde, O. (2006). Med kompass mot mestring et didaktisk perspektiv på matematikvansker. Nordic Studies in Mathematics Education, 11, 37–64.

Darling-Hammond, L. (1998). Teachers and teaching: Testing policy hypotheses from a National Commission Report. Educational Researcher, 27(1), 5–15.

Fennema, E., Carpenter, T., Franke, M. L., Levi, L., Jacobs, V. R. og Empson, S. B. (1996). A longitudinal study of learning to use children's thinking in mathematics instruction. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 403–434.

Fennema, E., Franke, M. L., Carpenter, T. og Carey, D. A. (1993). Using children's mathematical knowledge in instruction. American Educational Research Journal, 30, 555–583.

Fosnot, C. T. og Dolk, M. (2001). Young mathematicians at work. Constructing number sense, addition and subtraction. Portsmouth, NH.: Heineman.

Fullan, M. (1999). Change forces: The sequel. Philadelphia: Falmer Press.

Gardner, H. (1993). Creating minds. New York: Basic Books.

Guilfoyle, K., Placier, P., Hamilton, M. L. og Pinnegar, S. (2002). Exploring the concept of dialogue in the self-study of teacher education practices. Í C. Kosnik, A. Samaras og A. Freese (ritstj.), Making a difference in teacher education through self-study: Proceedings of the Fourth International Conference on Self-Study of Teacher Education Practices (bls. 96–103). Herstmonceux, Sussex, UK: Self-Study of Teacher Education Practices Special Interest Group.

Hafdís Guðjónsdóttir og Jónína Vala Kristinsdóttir. (2006). Teaching all children mathematics: How self-study made a difference. Í L. M. Fitzgerald og D. L. Tidwell (ritstj.), Self-study and diversity (bls. 195–211). Rotterdam: Sense Publishers.

Hamilton, M. L. og Pinnegar, S. (1998). Conclusion: The value and the promise of self-study. Í M. L. Hamilton (ritstj.), Reconceptualizing teaching practice: Self-study in teacher education (bls. 235–246). London: Falmer Press.

Hamiliton, M. L. (2004). Professional knowledge, and self-study teacher education. Í J. Loughran, M. L. Hamilton, V. LaBoskey og T. Russell (ritstj.), International handbook of self-study of teaching and teacher education practices (bls. 375–429). Boston: Kluwer Academic Publishers.

Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K. C, Wearne, D., Murray, H., Oliver, A. og Human P. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heineman.

Jónína Vala Kristinsdóttir. (2004). Öll börn geta lært að reikna. Glæður, 1, 43–64

Jónína Vala Kristinsdóttir. (2006). Að læra af eigin kennslu. Rannsókn kennara á eigin stærðfræðikennslu á yngsta stigi grunnskóla. Uppeldi og menntun, 15(1), 43–64.

Kristín Bjarnadóttir. (2003). Menntun stærðfræðikennara, námsmat og stærðfræðileg hæfni. Netla – Veftímarit um uppeldi og menntun. Grein birt 17. desember 2003. Sótt 4. júní á  http://netla.khi.is/greinar/2003/009/index.htm.

Kruger, T. og Cherednichenko, B. (2006). Social justice and teacher education: Re-defining the curriculum. The International Journal of Learning, 12, 1–8.

LaBoskey, V., Kubler, D.-S. og Garcia, S. (1998). Cross-institutional action research: A collaborative self-study. Í M. L. Hamilton (ritstj.), Reconceptualizing teaching practice: Self-study in teacher education (bls. 154–166). London: Falmer Press.

LaBoskey, V. K. (2004). The methodology of self-study and its theoretical underpinnings. Í J. Loughran, M. L. E. Hamilton, V. LaBoskey og T. Russell (ritstj.), International handbook of self-study of teaching and teacher education practices (bls. 817–870). Boston: Kluwer Academic Publishers.

Lomax, P., Evans, M. og Parker, Z. (1998). For liberation ... Not less for love: A self-study of teacher educators working with a group of teachers who teach pupils with special educational needs. Í M. L. Hamilton (ritstj.), Reconceptualizing teaching practice: Self-study in teacher education (bls. 167–177). London: Falmer Press.

Loughran, J. (1999). Researching teaching for understanding. Í J. Loughran (ritstj.), Researching teaching: Methodologies and practices for understanding pedagogy (bls. 1–10). London: Falmer Press.

Loughran, J. (2007). Researching teacher education practices. Journal of Teacher Education, 58, 12–20.

Magne, O. (2003). Literature on special educational needs in mathematics: A bibliography with some comments. Malmö: School of Education.

Magne, O. (2006). Historical aspects on special education in mathematics. Nordic Studies in Mathematics Education, 11, 7–36.

Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla. Lundur: Studentlitteratur AB.

Marlowe, B. A. og Page, M. L. (2005). Creating and sustaining the constructivist classroom. Heatherton, Victoria Australia: Hawker Brownlow Education.

Menntamálaráðuneytið. (2007). Aðalnámskrá grunnskóla, stærðfræði. Reykjavík: Menntamálaráðuneytið.

Parmar, R. S. og Cawley, J. F. (1997). Preparing teachers to teach mathematics to students with learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, 30(2), 188–197.

Peterson, P. L., Fennema, E. og Carpenter, T. (1991). Using children's mathematical knowledge. Í B. Means (ritstj.), Teaching advanced skills to educationally disadvantaged students. Menlo Park, CA: SRI International.

Pinnegar, S. (1998). Introduction. Í M. L. Hamilton (ritstj.), Reconceptualizing teaching practice: Self-study in teacher education (bls. 31–33). London: Falmer Press.

Sjöberg, G. (2004). Dyskalkyli, skolans största pedagogiska problem? – En granskning av forskningslitteraturen mellan 1993–2003. Í A. Engström (ritstj.), Democracy and participation: A challenge for special needs education in mathematics (bls. 261–282). Örebro: Örebro Universitet,  Pedagogiska institutionen.

Tidwell, D. og Fitzgerald, L. (2004). Self-study as teaching. Í J. J. Loughran, M. L. Hamilton, V. K. LaBoskey og T. Russell (ritstj.), International handbook of self-study of teaching and teacher education practices (bls. 69–102). Dordrect, Hollandi: Kluwer Academic Publishers.

Tomlinson, C. A. (1999). The Differentiated classroom: Responding to the needs of all learners. Alexandria: Association for Supervision and Curriculum Development.

Undervisningsministeriet (2002). Kompetancer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18. Kaupmannahöfn: Undervisningsministeriet.

Van de Walle, J. A. (2004). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally. Boston: Pearson.

Villasenor, A. og Kepner, H. S. (1993). Arithmetic from a problem-solving perspective: An urban implementation. Journal for Research in Mathematics Education, 24, 62–70.

Wolcott, H. (1994). Transforming qualitative data: Description, analysis, and interpretation. Thousands Oks: Sage.

Woodward, J. og Montague, M. (2002). Meeting the challenge of mathematics reform for students with LD. The Journal of Special Education, 36(2), 89–101.

Prentútgáfa     Viðbrögð