Netla – Veftímarit um uppeldi og menntun

Rannsóknarstofnun Kennaraháskóla Íslands

Ritrýnd grein birt 17. mars 2004

Kristín Bjarnadóttir

Algorismus

Fornt stærðfræðirit í íslenskum handritum

Greinin er um fornan texta, Algorismus, en hann er að finna í nokkrum íslenskum handritum og fjallar um indóarabíska talnaritun. Kunnast handritanna er Hauksbók og er talið að sá hluti bókarinnar sem geymir textann hafi verið ritaður í upphafi fjórtándu aldar. Textinn er þýðing á latnesku ljóði eftir Alexander de Villa Dei, franskan námsefnishöfund sem uppi var um 1200. Í greininni er farið vandlega yfir reikniaðferðir í þessu forna íslenska stærðfræðiriti, raktar rannsóknir á uppruna textans og sett fram tilgáta um að ritið hafi verið þýtt og skráð í Viðey á 13. öld. Höfundur er lektor í stærðfræðimenntun við Kennaraháskóla Íslands.

Yfirlit

Grein þessi er um stærðfræðilegan texta, Algorismus, sem er að finna í nokkrum fornum íslenskum handritum, þar á meðal Hauksbók. Textinn fjallar um indóarabíska talnaritun, sem var að ryðja sér til rúms í evrópskri menningu á síðmiðöldum og reikniaðferðir sem henni fylgdu.

Talið er að sá hluti Hauksbókar sem Algorismus er í hafi verið ritaður á tímabilinu 1302–1310. Handrit Hauksbókar eru varðveitt í Árnasafni í Kaupmannahöfn og voru gefin út á bók á árunum 1892–96 af Finni Jónssyni prófessor. Er stuðst við þá útgáfu af texta Algorismuss [1] í þessari umfjöllun. Algorismus er nærri orðrétt þýðing á latnesku ljóði, Carmen de Algorismo, eftir Alexander de Villa Dei, kunnan franskan námsefnishöfund sem var uppi um 1200.

Í þessari grein verða allar reikniaðferðir þær, sem settar eru fram í Algorismus, skýrðar orð fyrir orð og sýnt fram á að þar sé fullkomlega um stærðfræðilega réttar aðferðir að ræða. Á meðal þeirra er dráttur teningsrótar. Hann er ekki að finna í latneskum þýðingum á arabískum ritum og er teningsrót talin hafa komið fyrst fram á latínu í Carmen de Algorismo.  Ennfremur verða raktar þær rannsóknir sem gerðar hafa verið á uppruna texta Algorismuss og sett er fram tilgáta um að ritið hafi verði þýtt og skráð í Viðey á tímabilinu um eða fyrir miðja 13. öld.

Algorismus

Í Algorismus er gerð grein fyrir talnaritun með sætiskerfi þar sem grunntalan er tíu og er sú list eignuð Indverjum. Þar er umfjöllun um jafnar tölur og oddatölur og alls sjö reikniaðgerðir. Meginmál Algorismuss er næsta orðrétt þýðing á Carmen de Algorismo. Þó er nokkuð um að bætt hafi verið talnadæmum til skýringar inn í íslenska textann, sérstaklega framan af, og einstaka hlutar Carmen hafa rýrnað í þýðingunni. Lokakafla Algorismuss er ekki að finna í fyrirmyndinni. Þar eru hugleiðingar um tölugildi jarðar og elds, loft og vatns og hlutföllin á milli þeirra. Talið er að þessi kafli sé eini vitnisburðurinn um þekkingu á Tímaíos eftir Platon á Norðurlöndum.[2]

Yfirlit yfir efni Algorismuss

  • Tölustafirnir og núllið.

  • Sætisgildi tölustafanna.

  • Eins stafs tala, tugtala og samsett tala.

  • Jafnar tölur og oddatölur.

  • Sjö reikniaðgerðir: Samlagning, frádráttur, tvöföldun, helmingun, margföldun, deiling og rótardráttur, annars vegar ferningsrót en hins vegar teningsrót.

  • Um höfuðskepnurnar eld, loft, vatn og jörð, og tölur tilheyrandi þeim.

Málsgreinar Algorismuss verða nú raktar lið fyrir lið. Stuðst er við útgáfu Finns Jónssonar 1892–1896. Stafsetning hefur verið samræmd og færð að mestu til nútímahorfs sem og greinarmerki. Ritháttur talna er þó látinn halda sér. Þar sem koma fyrir rómverskar tölur eru þær ritaðar með hástöfum þótt notaðir séu lágstafir í útgáfu FJ.

Tölustafirnir og núllið

 

Hér byrjar algorismum

List þessi heitir algorismus. Hana fundu fyrst indverskir menn og skipuðu með X stöfum þeim er svo eru ritnir 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Hinn fyrsti stafur merkir einn í fyrsta stað en annar II, hinn þriðji þrjá og hver eftir því sem skipaður er allt til hins síðasta er siffra heitir, og skal þessa stafi frá hægri hendi upp hefja og rita til vinstri handar sem hebresku.

 

Í upphafsgreininni er skýrt frá indverskum uppruna tölustafanna, rithætti þeirra og merkingu. Heiti tölustafsins, er nú heitir núll en hér siffra, er sérstaklega áréttað og þess getið að telja skuli tölustafina frá hægri til vinstri svo sem hebreska er skrifuð. ,,Hinn fyrsti stafur merkir einn í fyrsta stað“ þýðir þá að fyrsti stafur í fyrsta sæti (,,stað“) frá hægri talið merki einn.

Sætistalnaritun með grunntölunni 10

 

Um merking stafa

Hver þessi stafur merkir sig einfaldlega í fyrsta stað, en ef hann er í öðrum stað en hann er skipaður merkir hann X sinnum sjálfan sig. Og í hvern stað er þú setur fígúru þessa annan en skipað er þá merkir hún ávallt X hlutum meira í þeim stað er til vinstri handar veit heldur en í næsta stað áður. Siffra merkir ekki fyrir sig en hún gerir stað og gefur öðrum fígúrum merking.

 

Því næst er útlistun á sætistalnaritun í tugakerfi. Gildi tölustafanna í samsettri tölu tífaldast við að færast um eitt sæti („stað“) til vinstri en það er annar meginkostur indóarabískrar talnaritunar. Setningin: „Siffra merkir ekki fyrir sig en hún gerir stað og gefur öðrum fígúrum merking“, nefnir hinn meginkostinn, að núllið merki ekkert („ekki“ er hér fornafn og merkir ekkert) útaf fyrir sig en gefi öðrum tölustöfum merkingu með því að fylla sæti í talnasamstöfunni.

Eins stafs tala, tugtala og samsett tala

 

Um grein stafa

Þar næst heyrir það til að vita þrenna grein stafanna og allrar tölu, því að öll tala minni en X heitir fingur, en sú tala öll, er tigum gegnir, heitir liður, hvort sem hún er meiri eða minni. En sú tala er allt er saman, liður og fingur, heitir samsett tala.

 

Um fingur og fígúru

Ef þú vilt rita nokkra tölu þá hygg þú að ef það er fingur og rita í fyrsta stað eina hverja fígúru slíka sem þarf á þessa leið, 8. En ef þú vilt lið rita þá settu siffru fyrir fígúru á þessa lund, 70. Vilt þú samsetta tölu rita þá settu fingur fyrir lið sem hér, 65.

 

Greint er á milli þess hvort um er að ræða eins stafs tölu og nefnist talan þá fingur sem er þýðing á latneska orðinu digitus. Tugtala, „sú tala öll er tigum gegnir“, heitir liður, á latínu articulus, en liður og fingur nefnist samsett tala. Sýnd eru um hvort tveggja talnadæmi sem ekki er að finna í Carmen.

Sléttar tölur og oddatölur

 

Hversu jöfn eður ójöfn tala verður

Hverja tölu er þú ritar, þá er hún jöfn ef tigum gegnir eða jafn fingur er umfram, en öll talan er ójöfn ef ójafn fingur er umfram. Jafnir fingur eru fjórir; 2, 4, 6, 8 eru jafnir, en ójafnir aðrir fjórir; 3, 5, 7, 9. En einn er hvorki því að hann er eigi tala heldur upphaf allrar tölu.

 

Sérstök grein er um sléttar tölur og oddatölur sem nefndar eru jafnar og ójafnar. Tekin eru dæmi sem ekki er að finna í Carmen og vekur þar sérstaka athygli klausa þar sem segir að einn sé hvorugt „því að hann er eigi tala heldur upphaf allrar tölu“. Ef til vill er hér um forngrísk áhrif að ræða eins og í lokakaflanum. Samsvarandi klausu er að finna í verki Al-Kwarizmis þar sem hann vísar í aðra bók um reikning, trúlega Frumþætti Evklíðs eða Arithmetica eftir Nikomachus.[3]

Klausan er þessi (þýðing höfundar í sviga):

Et iam patefeci in libro algebr et almucabalah, idest restaurationis et oppositionis, quod uniuersus numerus sit compositus et quod universus numerus componatur super unum. Unum ergo inuenitur in uniuerso numero. Et hoc est quod in alio libro arithmetice dicitur quia unum est radix uniuersi numeri et est extra numerum.[4]

 

(Og ég hef þegar útskýrt í bókinni um algebr og almucabalah, það er um að skila til baka og bera saman, að sérhver tala er samsett og sérhver tala er samsett úr einingum. Eininguna er þess vegna að finna í sérhverri tölu. Og þetta er það sem er sagt í annarri bók um reikning að einingin sé upphaf allra talna og sé utan talnanna.)

 

Ekki er gerð grein fyrir hvernig flokka skuli tölur sem enda á einum eins og 11, 21, 31 o.s.frv. en hins vegar er sú tala slétt „er tigum gegnir“, þ.e. endar á núlli.

Reikniaðgerðir

 

Capitulum

Í sjö staði er skipt þessarar listar greinum. Heitir hið fyrsta viðurlagning, annað afdráttur, þriðja tvefaldan, fjórða helmingaskipti, V margfaldan, VI skipting, VII að taka rót undan og er sú grein á tvær leiðir. Annað er að taka rót undan ferskeyttri tölu. Enn annað er það að taka rót undan átthyrndri tölu þeirri er verpils vöxt hefur.

 

Reikniaðgerðirnar eru taldar sjö: samlagning („viðurlagning“), frádráttur („afdráttur“), tvöföldun („tvefaldan“), helmingun („helmingaskipti“), margföldun („margfaldan“), deiling („skipting“), og rótardráttur („að taka rót undan“), annars vegar ferningsrót („að taka rót undan ferskeyttri tölu“) en hins vegar teningsrót („að taka rót undan átthyrndri tölu þeirri er verpils vöxt hefur“). „Verpill“ merkir teningur og tala sem „verpilsvöxt hefur“ vex á þrjá vegu, þ.e. með þriðja veldi. Frá setningunni „og er sú grein á tvær leiðir …“ til loka málsgreinarinnar er texti um tvenns konar rótardrátt, ferningsrót og teningsrót. Textann er ekki að finna í Carmen. Ræturnar eru hins vegar báðar nefndar í riti Jóhannesar af Sacrobosco, De Algorismo.[5]

Skipan aðgerða

 

Hversu af skal taka tölum og við leggja

Frá hinni hægri hendi skaltu af taka og við leggja og skipta í helminga en frá vinstri hendi skaltu tvefalda og skipta og margfalda og svo draga undan rót hvorutveggju.

 

Bent er á að frádráttur, samlagning og helmingun eigi sér stað frá hægri til vinstri. Er það svipað og nú er gert nema hvað helmingun viðkemur. Tvöföldun, deiling og margföldun hefjist hins vegar frá vinstri hlið tölunnar. Varðandi deilingu og e.t.v. tvöföldun er það eins og nú þekkist. Margföldunaraðferð sú sem nú er algengust hér á landi hefst frá hægri. Um 1970 voru þó kenndar danskar kennslubækur í íslenskum barnaskólum, Stærðfræði – Reikningur eftir Agnethe Bundgaard, þar sem byrjað er á að margfalda saman tölur með hæstu sætisgildi eins og lýst er í Algorismus.[6]

Samlagning

 

Hér segir á hvern hátt skal leggja aðra tölu við aðra

Ef þú vilt við aðra tölu aðra leggja þá rita yfir uppi hina meiri töluna og set hina minni tölu jafn fram til hinnar hægri handar og legg þá fígúru fyrst upp við töluna er utast er til hægri handar og ef sú tala öll saman er fingur þá rita hann í sama stað. En ef talan verður samsett þá rita í fyrsta [stað] fingur en legg við liðinn þá töluna sem í næsta stað er áður. En ef liður verður af viðlagning í fyrsta stað þá rita þar siffru en legg liðinn við þá tölu er næst stendur ef þar er nokkur tala, ella rita þar hann einn saman. En ef þar er siffra þá tak hana brott en set liðinn þar niður. Legg síðan aðrar fígúrur við að slíkum hætti.

 

Samlagning fer fram með líkum hætti og nú tíðkast. Lagðar eru saman tvær tölur í einu, minni talan rituð undir stærri töluna og jafnað til hægri. Smám saman er bætt við stærri töluna. Byrjað er í einingarsæti og haldið áfram til vinstri. Fari samlagning yfir tug er tugnum strax bætt við í næsta sæti. Ekki er alveg ljóst af textanum hvort rita skuli yfir stærri töluna, undir hana eða ofan í hana. Setningin „En ef þar er siffra þá tak hana brott en set liðinn þar niður“ bendir til þess að skrifað sé ofan í. Otto B. Bekken hefur túlkað textann þannig [7] og í ensku skýringarriti í handriti frá fimmtándu öld [8] við Carmen de Algorismo, The Crafte of Nombrynge, er summan rituð ofan í stærri töluna.[9] Hér verður upphaflega talan látin halda sér til skýringar.

Samlagning 4073 og 536 er þá þannig, sýnd í fjórum skrefum:

Auðvelt væri að prófa útkomuna með því að draga minni töluna frá útkomunni og fá út upprunalegu töluna.

Frádráttur

 

Ef þú vill aðra tölu af annarri taka þá rita tvennar tölur sem í viðurlagning og set jafnan hina minni tölu undir ellar jafna. Þá tak þú af hinni fyrstu fígúru þá tölu sem undir stendur ef það má og rita ef nokkuð er eftir í sama stað ella set þar siffru.

Enn ef þú mátt eigi hina fyrstu fígúru af taka og er sú tala meiri er undir stendur þá taktu einn af næstu fígúru. Gái þess að hún gerir X í fyrra staðnum. Tak þá af þeim alla tölu þá sem undir er og [rita] í sama stað það sem af hleypur. Enn ef siffrur standa yfir uppi þá tak einn af þeirri fígúru er næst stendur siffrum og rita níu þar sem siffrur voru allt þar til er þú kemur í þann stað er þú vill af taka. Og taktu þar af þeim tíu sem þarf og rita í sama stað það er lifnar.

 

Frádráttur er einnig gerður frá hægri. Minni talan, sem dregin er frá, er rituð undir stærri töluna. Tekið er til láns á sama hátt og enn tíðkast. Sérstaklega er greint frá hvað gera skuli ef núll er í sæti efri tölunnar. Svarið er skrifað ofan í, undir eða yfir stærri töluna. Í þessari málsgrein er notað orðasambandið „það er af hleypur“ um það sem afgangs eða umfram er, leifina. Þetta orðasamband er einnig notað þegar kemur að deilingu og rótardrætti. Síðar í þessari málsgrein er notað orðasambandið „það er lifnar“ sömu merkingar, það sem leift er.

Í dæminu hér á eftir er svarið skrifað ofan í stærri töluna en upphaflegu tölunni er haldið á milli til skýringar. Talan 463 dregin frá 1427:

Tvöföldun

 

Hversu tvefalda skal töluna

Ef þú vilt tvefalda nokkura tölu þá rita fyrst slíka tölu er þér líkar þar. Næst tvefalda þú þá fígúru er mest veit til vinstri handar og rita í næsta stað það er af hleypur sem í viðurlagning. En ef semis stendur yfir uppi í ysta stað þá legg við einn því að þar var áður [ó]jöfn tala er í helminga var skipt.

 

Tvöföldun er talin sérstök aðgerð. Hún er framkvæmd frá vinstri, þ.e. tölustafurinn með hæsta sætisgildið er tvöfaldaður fyrst og síðan koll af kolli eins og oft er gert enn í hugarreikningi. Því sem umfram er, „það sem af hleypur“, er bætt við í næsta sæti (til hægri). Þessari aðgerð eru gerð fremur ónákvæm skil í Algorismus Hauksbókar samanborið við Carmen, þ.e. Algorismus er ekki orðrétt þýðing á Carmen í þessum kafla. Sérstaklega er tekið fram að sé táknið semis (hálfan) að finna „yfir uppi í ysta stað“ þá skuli bæta við einum því að þar hafi áður verið „jöfn tala í helminga skipt“. Hér ætti að standa „ójöfn tala“. Hugsanlegt er að þýðandi eða skrifari hafi ekki verið alveg með á nótunum hér.

Dæmi af tvöföldun tölunnar 653½ (í stað semis-táknsins yfir 3 er ritað ½ aftan við).

Helmingun

 

En ef þú vilt helming af taka þá rita slíka tölu sem þú vilt og tak af helming hinni fyrstu fígúru ef hún er jöfn. En ef hún er ójöfn þá skipt í helminga því er af einum hleypur og tak upp einn en rita yfir uppi þann staf er helming hvers hlutar merkir og vér köllum semis og svo er gjör   en set siffru í staðinn. Þar næst tak af annarri fígúru helming að sama hætti ef hún er jöfn. En ef hún er ójöfn þá tak af helming af því að jafnt er og af upp þann og ger af honum fimm í næsta stað því að það er helmingur af X. En ef í öðrum stað stendur einn þá tak hann upp og rita V í næsta stað en set þar niður siffru sem hann stóð. Ekki gerir siffra nema nokkur fígúra standi til vinstri handar henni. Far síðan fram að slíkum hætti hversugi margar sem fígúrur eru.

 

Þegar skipt er til helminga er byrjað á að skipta einingum og síðan haldið áfram til vinstri. Sérstök skil eru gerð þeim tilvikum þegar fyrir kemur að ójöfn tala (oddatala) er í einingasæti. Þá er skal „skipta í helminga því er af einum hleypur“, þ.e. er umfram einn. Setningabrotin „tak upp einn“ og síðan „en set siffru í staðinn“ hljóta að benda til þess tilviks er 1 er í einingasæti. Þá er ritað 0 í einingasætið með helmingsmerki yfir, „rita yfir uppi ... semis“, en helmingsmerkið á reyndar einnig við þegar skipt er oddatölu í einingasæti.

Ef oddatala er í sætum með hærra sætisgildi skal „taka helming af því að jafnt er“, en um hinn eina sem af gengur segir „og tak af upp þann og ger af honum fimm í næsta stað“. Sé einungis einn í sætinu skiptist hann í tvenna fimm og bætast fimm við í næsta sæti (til hægri) en sett núll þar sem hann stóð. Áréttað er að aðeins skuli rita núll ef eitthvað stendur til vinstri handar: „Ekki gerir siffra nema nokkur fígúra standi til vinstri handar henni.“

Dæmi af helmingun 2187:

Margföldun

 

Um margfaldan

Ef þér líkar að margfalda aðra tölu í aðra rita tvennar rásir stafanna með þeim hætti að hin ysta fígúra þeirrar tölu er þú margfaldar standi undir fyrsta staf hinnar efri tölu en til vinstri handar allar aðrar frá þeirri þær sem undir eru. Þar næst skaltu hugsa hversu mikið hina meiri fígúru þá er þú vilt margfalda skortir á X. Svo oft skaltu hina minni töluna, þá er þú vilt margfalda, taka af tigum hennar. Og að þú skiljir þetta margfalda VII og níu. Níu skortir einn á X. Því taktu eina VII af VII tigum. Þá verða eftir III og VI tigir, það eru VII sinnum níu.

Að slíku skapi máttu aðrar tölur reyna. Margfalda hina fyrstu fígúru í allar þær er undir standa og rita yfir hverri fígúru þá margfalld er hún hefur og til vinstri handar það sem eigi má yfir henni í næsta stað með viðlagning réttri.

Og þá er þessi fígúra er margfölduð fær hina ystu af þeim, er undir standa, undir næstu fígúru og margfalda við þann svo sem við hinn fyrra og ef margfaldan gefur þér lið set siffru yfir uppi en skipa liðnum til vinstri handar. En ef bæði verður af fingur og liður þá rita fingur yfir þeirri fígúru er þú margfaldaðir en lið í næsta stað. En ef fingur einn verður af margfaldan þá rita hann yfir uppi. Ef siffra er í hinni efri tölu þá hlaup yfir hana því að ekki er hennar margfaldan.

Þess skal og gá að taka af fígúrur þer sem yfir uppi standa. Jafn skjótt hverja sem þú hefur margfaldað og rita þann fingur í stað hverrar sem til heyrir eða siffra ef það er réttara en legg það við hinar er til vinstra vegs standa sem af hleypur.

Ef siffra stendur yfir þeirri fígúru er þú margfaldar þá tak hana af ef fingur verður og margfalda ella standi hún kyrr. Ef þú grunar hvar þú hefir rétt margfaldað þá skipt í sundur alla töluna um margfaldan. Það er sú tala er undir stóð og muntu fá hina sömu tölu og fyrr hafðir þú.

 

Í upphafi er lýst hvernig stillt er upp við margföldun samsettra talna en síðan er gerð grein fyrir hvernig margfalda skuli saman tvær eins stafs tölur. Stærri talan er dregin frá 10. Síðan eru teknir eins margir tugir og minni talan er og minni talan dregin frá jafnoft og samsvarar fyrrgreindum mismun stærri tölunnar og 10. Inn í íslensku þýðinguna er dæmi bætt inn til skýringar: „Og að þú skiljir þetta margfalda vii og níu“ og sýnt að það má reikna sem 7•10 – (10 – 9)•7 = 70 – 7 = 63. Með rithætti algebrunnar mætti setja margföldunina fram svo: (a > b)

a•b = 10b – (10 – a)b

Þegar margfaldaðar eru saman samsettar tölur er margfaldað frá vinstri eins og við tvöföldun. Tölum er þannig fyrir komið að „hin ysta fígúra þeirrar tölu er þú margfaldar standi undir fyrsta staf hinnar efri tölu en til vinstri handar allar aðrar frá þeirri þær sem undir eru“, þ.e. að ysti stafur (til hægri) þeirrar tölu, sem margfalda á, standi undir fyrsta staf (frá vinstri) þeirrar sem margfalda skal með. Byrjað er á að margfalda með fyrsta staf frá vinstri. Síðan er talan, er undir stendur, færð þannig til að stafurinn lengst til hægri sé undir næsta tölustaf efri tölunnar og neðri talan er nú margfölduð með honum á sama hátt. Margfeldið leggst yfir margföldunarstafinn og næstu stafi til vinstri eins og áður.

Dæmi: Margfalda 523 með 217:

Fyrst er talan 523 margfölduð með 2:

Síðan er ysti tölustafurinn af þeim, er undir standa, færður undir næsta tölustaf og nú er margfaldað með honum. Í dæminu er stafurinn 3 færður undir 1 og aðrir stafir á eftir honum. Talan 523 er margfölduð með 1. Ekki er alveg ljóst hvort leggja skuli við jafnharðan eða í lokin. Í The Crafte of Nombrynge, eru fyrstu niðurstöður skrifaðar ofan í upphaflega margföldunarstofninn en síðan bætast við tölustafir í sætin fyrir ofan og allt saman lagt saman að lokum.[10] Hér á eftir verður niðurstöðum margföldunar bætt við eftir hendinni á svipaðan hátt og í The Crafte of Nombrynge nema hvað þeim er bætt við summuna jafnharðan:

Í næsta skrefi eru stafurinn 3 færður undir 7 og aðrir stafir eftir því. Talan 523 er síðan margfölduð með 7, fyrst 5, síðan 2 og að lokum 3

Röð margfaldana verður þessi ef tekið er dæmi af margfeldi tveggja þriggja stafa talna:

(100a + 10b +c) margfaldað með (100d + 10e + f)

= 100a•100d + 100a•10e + 100a•f + 10b•100d + 10b•10e + 10b•f + c•100d + c•10e + c•f

Það sem hér er verulega frábrugðið þeirri margföldun sem nú er algengust en hefur þó þekkst á Íslandi á 20. öld, er að margfaldað er frá vinstri. Það hefur þann kost að tölustafirnir eru lagðir við jafnharðan og ekki nauðsynlegt að geyma. Eins og áður er getið er hér lýst aðferð svipaðri þeirri sem kennd var í svonefndu Bundgaard-námsefni í barnaskólum á Íslandi um 1970.[11] Þá kemur fremsti tölustafurinn fram fyrst og vekur þar með strax hugboð um stærð útkomunnar.

Deiling

 

Sundurskiptileg tala

En ef þú vilt skipta í sundur tölunni þá rita tvennar rásirnar stafanna og rita undir hina minni töluna og skal hin meiri tala hálfu meiri eða þrjú slík eða meiri munur. Settu hina fremstu fígúru þá er undir stendur gegnt hinni fyrstu yfir uppi og aðrar til hægri handar jafn fram sem þær endast er undir standa. Þar næst hugsaðu hversu oft hinn fyrsti fingur er og í hinum efra svo að jafn oft sé þær er fylgja henni hver í þeirri tölu er yfir stendur. Og set þú þann fingur gegnt hinni ystu fígúru er undir stendur og þó uppi yfir báðar raðir. Tak síðan hina fyrstu af hinni fyrstu fígúru og þar næst hverja af hendi jafnoft af hinni efri tölu. En ef ein tala er undir þá tak hana af hinni efri tölunni. Þar næst flyt alla tölu þá er undir stendur um einn og finn annan kvótíens og set þann hjá hinum fyrsta. Og tak hina neðri tölu í kvótíens svo oft af hinni efri og ger að sama hætti svo oft sem þarf.

Ef þú mátt eigi hina neðri tölu í fígúru finna í hinni efri þá set þann fingur er undir stendur fremstur næst hinni fyrstu og aðrar að sama hætti til hægri handar. Og finn síðan kvótíens eftir slíkum hætti og fær aftur fígúru sem þarf og rita alla sama kvótíens yfir uppi svo marga sem þarf. En ef siffra stendur undir niðri þá hlaup yfir hana því að ekki má henni skipta.

Þá er þú kemur undir hina ystu fígúru og hefur henni skipt máttu ekki lengur skipta. Og gæt þú þá þeirrar tölu er eftir stendur ef hún er nokkur.

En ef þú vilt prófa hvort þú skiptir rétt þá margfalda þá tölu er undir stóð við kvótíens og muntu fá sömu tölu og fyrst hafðir þú. En ef nokkuð hljóp af fram í skipting þá legg það við síðan er margfaldað er og muntu finna hina sömu tölu.

 

Við deilingu er lægri talan, deilirinn, rituð undir þeirri meiri, deilistofninum. „Hin meiri tala“, stofninn, verður að minnsta kosti að vera „hálfu meiri eða þrjú slík“, þ.e. tvöfaldur eða þrefaldur deilirinn. Fremstu stafir talnanna eru látnir standast á. Deilt er með neðri tölunni, deilinum, í jafnmarga stafi hinnar efri og deilisins. Fundið er eins hátt margfeldi af deilinum og hægt er að draga frá efri tölustöfunum. Það sem kemur út er nefnt „kvótíens“, kvóti, og er ritað uppi yfir báðum línum.

Dæmi tekið af 7924:7:

Deilirinn er næst færður til um eitt sæti til hægri og haldið áfram að deila, nú í 9, og svo koll af kolli:

Í grundvallaratriðum er deiling framkvæmd á svipaðan hátt og nú er algengast, með endurteknum frádrætti. Ekki er ljóst hvort deilistofninn er látinn hverfa smám saman en það gæti verið í samræmi við aðrar aðgerðir. Hér er deilistofninn sýndur óskiptur en í línunni þar fyrir ofan er sýnt hvernig tínist úr honum þar til ekkert er eftir.

Í framhaldi er tekið fram hvað gera skuli ef fyrsti stafur deilis gengur ekki upp í fyrsta staf deilistofns eins og t.d. í 1024:8 og hvað gera skuli ef 0 er í deilistofninum. Er það með svipuðum hætti og gert er enn í dag. Að lokum er sýnd prófun: „En ef þú vilt prófa hvort þú skiptir rétt ...“ og hún gerð í samræmi við eðli reikniaðgerðarinnar, deilir og kvóti eru margfaldaðir saman og afgangi bætt við, sé hann nokkur.

Ferningsrót

 

Capitulum

Þá er þú leiðir eina hverja tölu og margfaldar í sjálfa sig heitir sú tala ferskeytt og kvadrans og hin fyrsta tala sú er þú margfaldaðir heitir rót og er hver tala rót undir nokkurri tölu, en eigi er hver tala ferskeytt.

Ef þú vilt rót finna undir nokkurri tölu þá rita fyrst slíka tölu er þér líkar og í hinum fyrsta ójöfnum stað rita undir fingur þann er þú leiðir í sjálfan sig og taki af það sem yfir uppi er eða svo sem næst má hann ganga. Síðan tvefaldaðu þann sama fingur og heitir það dufl. Tak þá upp fingurinn og heitir hann subdufl. Gæt þú subdufls en rita dufl í næsta stað ef það er fingur en ef liður er þá rita þar sem fingur hinn fyrri stóð og set siffru fyrir ella fingur ef samsett tala er.

Finn síðan nýjan fingur og [leið] hann í dufl og tak af hinni efri tölu þá tölu er þú margfaldar. Síðan margfalda þú fingur í sjálfan sig og tak þá tölu af hinni efri gegnt sjálfum honum. Þar næst tvefalda fingurinn og gæt hans með fyrra subdufli en set dufl í næsta stað sem fyrr.

Finn þar næst nýjan fingur og leið í duflin bæði samt og flyt duflið fyrra að hinu dufli um einn stað og legg þar við ef þar stóð liður fyrir af hinu duflinu. Margfalda þá nýjan fingur í bæði duflin og tak þá tölu af hinni efri gegnt duflinu.

Ger að sama hætti svo oft sem þarf og leið nýjan fingurinn í öll duflin og flyt þau eftir ávallt um einn þar til er þú kemur í hinn ysta stað.

Ef upp gengur öll talan sú er þú ritaðir í fyrstunni þá var sú tala ferskeytt. En rót undir þeirri tölu eru fingur allir saman þeir er þú tvefaldaðir með síðasta fingrinum þeim er þú fannst.

Margfalda þú rótina í sjálfa sig og muntu hafa hina sömu tölu sem í fyrstu ef þú gerðir rétt. Ef af hleypur nokkuð tölunni þá er þú dregur rótina undan þá er sú tala eigi ferskeytt og legg þú þá tölu við hina er þú margfaldar ræturnar til og muntu fá hina fyrstu töluna og er sú tala öll saman rótin og af hlaup rót meiri tölu.

Ef hinn fyrsti staður þeirrar tölu er þú ritaðir var jafn þá finn fingur undir næstu fígúru og margfalda á sömu leið.

 

Tala margfölduð með sjálfri sér nefnist „ferskeytt“, en upphaflega talan nefnist „rót hinnar ferskeyttu tölu“. „Hver tala er rót undir nokkurri tölu en eigi er hver tala ferskeytt“ segir í Algorismus.

Þegar dregin er rót undan ferskeyttri tölu er fundinn „fyrsti ójafni staður“ tölunnar. Þar undir er ritaður fyrsti stafur rótarinnar í öðru veldi. Verður að líta svo á að staðurinn (sætið) lengst til hægri teljist ójafn, næsti jafn og svo koll af kolli. Fyrsti ójafni staðurinn er þá hinn fyrsti af þessum stöðum frá vinstri.

Fyrsti stafur rótarinnar er tala sem margfölduð með sjálfri sér tekur eins mikið og mögulegt er af þeirri er uppi yfir stendur. Fyrsti stafur rótar er því næst tvöfaldaður og nefnist þá dufl en upphaflegi stafurinn nefnist subdufl og er settur til hliðar.

Ef dregin er rót af 98596 fer það þannig fram eins og sýnt er í eftirfarandi dæmi. Samhliða er stærðin (100a + 10b + c)2 brotin niður í liðastærð.

Ferningsrót tölunnar 98596 er 314 og

(100a + 10b + c)2 – (100a)2 – •2•100a•10b – (10b)2 – (2•100a + 2•10b)•c – c2 = 0

Nú verður aðferðinni lýst nánar. Í fyrsta ójafna stað tölunnar er 9. Fyrsti stafur rótar er 3 og dufl hans er 2•3. Stafurinn 3 er geymdur sem subdufl.

Aðgerðin lítur svo út þar sem þriggja stafa tala, abc, sem hefur gildið 100a + 10b + c, er rótin sem finna á:

(100a + 10b + c)2(100a)2             og 2•100a er duflið en 100a geymt sem subdufl.

Fundinn er nýr tölustafur sem er margfaldaður við duflið. Þetta margfeldi er ritað í næsta stað (til hægri) og dregið frá. Nýi stafurinn er hafinn í annað veldi og dreginn frá í næsta stað eða

(100a + 10b + c)2 – (100a)22•100a•10b – (10b)2

Í dæminu er nýi stafurinn 1 og verður geymdur sem subdufl.

Nýi tölustafurinn er geymdur sem subdufl, 10b, en dufl hans sett í næsta stað. Enn er fundinn nýr tölustafur sem er margfaldaður við bæði duflin og dregið frá. Fyrra duflið hefur þá verið flutt að hinu duflinu um einn stað, þ.e. lagt við tugasæti þess. Með bókstöfum:

(100a + 10b + c)2 – (100a)2 – •2•100a•10b – (10b)2(2•100a + 2•10b)•c

Nú er tölustafurinn margfaldaður með sjálfum sér og dreginn frá í næsta stað:

(100a + 10b + c)2 – (100a)2 – •2•100a•10b – (10b)2 – (2•100a + 2•10b)•c – c2

en með tölustöfum eru duflin 6 og 2 fyrst flutt saman, verða 62, og margfölduð með 4. Að lokum eru 42 dregið frá:

(100a + 10b + c)2 – (100a)2 – •2•100a•10b – (10b)2 – (2•100a + 2•10b)•c – c2 = 0

Aðferð þessari má halda áfram eins lengi og þörf er á: „Ger að sama hætti svo oft sem þarf og leið nýjan fingurinn í öll duflin og flyt þau eftir ávallt um einn þar til er þú kemur í hinn ysta stað.“ Sýnidæmið og skýringin á þó einungis við þriggja stafa tölu. Rótina mynda svo tölustafirnir, „fingurnir“, í þeirri röð sem þeir voru fundir: „En rót undir þeirri tölu eru fingur allir saman þeir er þú tvefaldaðir með síðasta fingrinum þeim er þú fannst“.

Kostur við þessa aðferð er að frádráttarliðirnir eru jafnmargir og sæti tölunnar. Þegar annar liður, (2•100a•10b), margfeldi annars stafs í rót og dufls þess fyrsta, er dreginn frá verður þó að hafa í huga stærð þriðja liðarins, ferskeyttu tölunnar (10b)2, annars gæti orðið of lítið eftir fyrir hann. Talan 134689 er dæmi um ferningstölu þar sem þessi vandi gæti komið fram. Fyrsti stafur rótarinnar er augljóslega 3. Þegar 3002 er dregið frá er eftir 44689. Nú er deilt með duflinu af 3 í 44 og útkoman er 7. Það er þó ekki næsti stafur rótarinnar þar sem 600•70 = 42000 og 44689 – 42000 = 2689. Þá sést að 26 er of lág tala til að draga 72 frá svo að næsti stafur rótarinnar verður að vera 6.

Í aðferð Algorismuss eru ferskeyttu tölurnar dregnar frá í sérstöku skrefi. Aðferðin við að draga ferningsrót, sem kennd var í skólum á 20. öldinni, var meira samandregin. Hún mætir þessum vanda og tryggir að ekki gangi of lítið af.

(100a + 10b + c)2 – (100a)2 – (2•100a +10b)•10b – (2•100a + 2•10b + c)•c

Hér er bent á eins og áður hvernig megi prófa hvort svarið verði rétt, hvort sem rótardrátturinn gengur upp eða ekki: „Margfalda þú rótina í sjálfa sig og muntu hafa hina sömu tölu sem í fyrstu ef þú gerðir rétt. Ef af hleypur nokkuð tölunni þá er þú dregur rótina undan þá er sú tala eigi ferskeytt og legg þú þá tölu við hina er þú margfaldar ræturnar til og muntu fá hina fyrstu töluna og er sú tala öll saman rótin og af hlaup rót meiri tölu.“

Teningsrót

 

Capitulum

En ef þú margfaldar réttlega á þá leið ferskeytta tölu í sjálfa sig, og sú tala er af þeirri margfaldan kemur heitir verpils tala, kúbíkus. Hún er alla vega jafnmikil. En rótin undir kúbíko var hin sama og ferskeyttrar tölu. Hver tala er rót nokkurrar verpils tölu í kúbíki en eigi er hver tala kúbíkus.

Ef þú vilt finna rót undir kúbíko hugsa hversu mikil tala og hversu margir staðir eru. Finn þar næst fingur í hinum fremsta þúsunda stað. Þúsunda staði köllum vér þá alla er um þúsundir einar brjótast. Það er hinn fjórði og hinn sjöundi og hinn tíundi og hinn þrettándi og ávallt hleypur yfir tvo, II, staði.

Frá vinstri hendi skaltu þetta verk upp hefja. Leið þann fingur þú fannst í sig kúbíke. Það er tvisvar sinnum margfaldað fyrst í sjálfan sig og annað sinn í þá tölu er þar kom af. Og þar næst tak af efri tölu þessa tölu alla gegnt fingrinum þeim sjálfum og þrefalda þar næst fingurinn og hoppa yfir einn stað með þá tölu og set í þriðja stað fyrir hinum þá töluna ef það er fingur. En ef það er liður þá set þar siffru en liðinn í næsta stað. En ef samsett tala er þá set fingurinn í sama stað en lið hið næsta.

Þar næst finn nýjan fingur í næsta stað þrefaldri tölu er tripl heitir og leið hann með hinni fígúru er fyrst fannstu og vér köllum subtripl og á hægra veg henni í triplið með margfaldan og þar næst leið hann einn saman í þá tölu er af margfaldan kom og vér köllum pródúktum.

Tak þá þessa tölu alla samt af hinni efri gegnt því sem triplið stóð. Því næst leið fingur þann sama í sjálfan sig kúpíke og tak þá tölu af hinni efri gegnt sjálfum fingrinum. Tak af fingur þann og þrefalda hér sem hinn fyrra og finn þá nýjan fingur. Leið þann með báðum subtriplum og triplin samt og flyt ávallt triplin fornari eftir sem þú gerir í minna rótardrátt við dufl nema hér skaltu ávallt einn stað hoppa en leggja þó að sama hætti tripl við tripl með réttri viðurlagning.

Far fram að slíku hofi meðan þarf og þú kemur í ysta stað. En það skaltu með mikilli vandvirkt hugsa þá er þú finnur fingurna að þeir taki eigi svo mikið af efri tölu að sú tala hafi eigi stað er þú margfaldar triplin til eða hin önnur er þú margfaldar fingurinn þann síðara til.

Varðveittu ávallt subtripl með tripli. Gæt þess og ef siffrur koma í subtripl að engi er margfaldan eða þrefaldan þeirra. En halda þær stöðum sínum meðan nokkur fígúra er til hægri handar þeim. Og er það óvandast í viðurlagning tripls að ávallt fer það sem fyrr er ritað í viðurlögu list.

Fingur allir samt þeir er subtripl voru og ystur fingur með eru rót hinnar meiri tölu þeirrar er þú ritaðir fyrst ef upp gekk öll talan í afdrættinum og margfaldaðu subtriplin í sjálf sig kúbíke og muntu finna hina fyrstu tölu.

En ef af hljóp nokkuð tölunni í afdrætti þá er sú tala eigi kúbíkus. En þó er af hlaup það með subtriplum rót nokkurs kúbíki. Og ef þú margfaldar rót hina minni kúbíke og legg undir þá tölu er af margfaldan kemur af hlaupið og muntu fá fyrstu tölu er þú ritaðir. Og nú ritum vér að sinni eigi fleira þar af.

Þessar eru fingra margfaldanar ferskeyttar. Af 3 9 kvaðratus, af 2 4, af 4 16 kvaðratus, af 5 25, af 6 36 kvaðratus, af 7 49 kvaðratus, af 8 64 kvaðratus, af 9 81. Og sú list til að finna fingra margfaldan sem ritað er fyrr.

Þessi er fingra margfaldan kúbíke 3 rót 27 kúbus, 2 rot 8 kúbus, 4 rót 64 kúbus, 5 rót 125 kúbus, 6 rót 216 kúbus, 7 rót 343 kúbus, 8 rót 512 kúbus, 9 rót 729 kúbus.

 

Þriðja veldi tölu nefnist verpils tala, þ.e. teningstala: „En ef þú margfaldar réttlega á þá leið, ferskeytta tölu í sjálfa sig, og sú tala er af þeirri margfaldan kemur heitir verpils tala, kúbíkus.“ Hér sem víðar eru bæði nefnd íslensk heiti og latnesk. Bendir það til að íslensku heitin hafi ekki verið orðin þýðanda mjög töm. Þýðandinn virðist halda latneskum beygingum orðsins kúbíkus en ritun orðmyndanna hefur víða brenglast í þýðingu og/eða uppskrift. Stafsetning þeirra hefur hér verið samræmd en beygingarendingar hafa verið látnar halda sér.

Þegar draga á teningsrót er tölunni skipt í þriggja stafa bása og fundin þúsundasæti, nefndir þúsunda staðir. Reiknað er frá vinstri. Hér sýnt dæmi þar sem dregin er teningsrót af 15069223 og til hliðar rótin af (100a + 10b + c)3:

Þriðja rótin af 15069223 er 247 og

(100a + 10b + c)3 – (100a)3 – 3•(100a + 10b)•100a•10b – (10b)3
– (100a + 10b + c)• (3•100a + 3•10b)c – c3 = 0.

Hér á eftir verður aðferðinni lýst nánar: Fundinn er tölustafur hafinn í þriðja veldi sem draga má frá tölunni í fremsta básnum. Miðað við þriggja stafa tölu, abc, fyrir teningsrót með gildið 100a + 10b + c mætti rita

(100a + 10b + c)3(100a)3

Ef tekið er dæmi af teningsrót tölunnar 15069223 þá er 5 í fremsta þúsunda stað og 2 er stærsta tala sem í þriðja veldi er minni en 15:

Tölustafinn (hér 2) skal síðan þrefalda og nefnist margfeldið tripl. Tölustafurinn er geymdur og nefnist subtripl. Nú skal hoppa yfir einn stað með triplið. Fundinn er nýr tölustafur sem „saman með subtriplinu og á hægra veg þess“, er margfaldaður saman við triplið. Tölustafurinn einn saman er síðan margfaldaður saman við þetta. Margfeldið er dregið frá í sæti triplsins og því næst er tölustafurinn einn saman hafinn í þriðja veldi og dreginn frá í sæti hans. Í dæminu er nýi tölustafurinn 4.

(100a + 10b + c)3 – (100a)3(100a + 10b)•3•100a•10b – (10b)3

Tölustafurinn nýi (4) er þrefaldaður og geymdur sem tripl. Triplin eru lögð saman á sama hátt og dufl hinnar ferskeyttu tölu, þannig fyrra triplið er flutt að hinu nýja „um einn stað“. Þá er síðasti stafur næsta tripls á undan lagður við tugastaf nýja triplsins, sé hann til.

Nú er giskað á nýjan tölustaf, hér c. Hann er margfaldaður saman við subtriplin (þar sem honum hefur verið bætt við) og triplin: „Leið þann með báðum subtriplum og triplin samt“. Sæti triplanna er fundið með því að hoppa yfir eitt sæti: „ ... og flyt ávallt triplin fornari eftir sem þú gerir í minna rótardrátt við dufl nema hér skaltu ávallt einn stað hoppa en leggja þó að sama hætti tripl við tripl með réttri viðurlagning.“ Útkoman er dregin frá. Að lokum er nýi tölustafurinn hafinn í þriðja veldi og dregið frá. Þetta kemur ekki skýrt fram í textanum. Með algebrurithætti er þetta svo:

(100a + 10b + c)3 – (100a)3 – (100a + 10b)•3•100a •10b – (10b)3
(100a + 10b + c)•(3•100a + 3•10b)•c – c3

Með tölum þar sem nýjasti tölustafurinn, c, er 7 reiknast sem hér er sýnt

Þriðja rótin af 15069223 er 247.

Aðferð þessari er fram haldið svo lengi sem þörf er. Þess er ætíð gætt að leita eftir tölustaf sem margfaldaður með triplum og subtriplum, þar sem honum hefur verið bætt aftan við, tekur ekki of mikið af stofninum. Þá þarf einnig að gæta að meðferð núllsins. Klausa um það er innskot í íslenska textann en virðist mun ítarlegri í lok Carmen: „Gæt þess og ef siffrur koma í subtripl að engi er margfaldan eða þrefaldan þeirra. En halda þeir stöðum sínum meðan nokkur fígúra er til hægri handar þeim.“

Einnig hér er greint frá því hvernig prófa megi útkomuna. „Fingur allir samt þeir er subtripl voru og ystur fingur með eru rót hinnar meiri tölu þeirrar er þú ritaðir fyrst ef upp gekk öll talan í afdrættinum og margfaldaðu subtriplin í sjálf sig kúbíte og muntu finna hina fyrstu tölu.“

Útkomuna má einnig prófa þótt afgangur verði: „En ef af hljóp nokkuð tölunni í afdrætti þá er sú tala eigi kúbíkus. En þó er af hlaup það með subtriplum rót nokkurs kúbíki. Og ef þú margfaldar rót hina minni kúbíke og legg undir þá tölu er af margfaldan kemur af hlaupið og muntu fá fyrstu tölu er þú ritaðir.“

Í Algorismus er listi yfir fyrstu átta ferskeyttu tölurnar og fyrstu átta teningstölurnar. Þá er talan einn ekki talin með í samræmi við þá hugsun að einn sé ekki tala heldur upphaf allrar tölu. Þessa upptalningu er ekki að finna í Carmen.

Þessi kafli í Carmen de Algorismo mun vera hinn fyrsti þar sem dráttur teningsrótar er kynntur á latínu.[12] Aðgerðin er hins vegar þekkt úr verkinu Āryabhaţīya eftir indverska stærðfræðinginn Āryabhaţa [13] (f. 476). Þar er stuttlega lýst aðferð til að draga þriðju rót sem tjá mætti þannig:

(100a + 10b + c)3 – (100a)3 – 3•(100a)2•10b – 3•100a•(10b)2 – (10b)3
– 3•(100a + 10b)2•c – 3•(100a + 10b)c2 – c3 = 0.

Þessi aðferð er í fleiri þrepum og hefur þann kost að leita má tölustafanna í öðru og þriðja sæti frá vinstri í rótinni (hér b og c) með beinni deilingu. Þó verður að hafa í huga næstu liði sem innihalda stafina í öðru og þriðja veldi. Afgangurinn, sem er þeim er ætlaður, má ekki verða of lítill. Aðferðin hefur einnig sama kost og dráttur ferningsrótar hér að framan í Algorismus, þann að frádráttur liða fylgir sætum tölunnar eftir að fyrsta sætið hefur verið valið. Í Algorismus er tekið fram við drátt teningsrótar að hoppa þarf yfir sæti (hoppa þarf yfir sætin nr. 3, 6, o.s.frv.): „ ... og þrefalda þar næst fingurinn og hoppa yfir einn stað með þá tölu og set í þriðja stað fyrir hinum þá töluna ...“.

Dráttur teningsrótar, að „draga rót undan átthyrndri tölu“, er aðgerð sem krefst verulegra útreikninga og leikni í meðferð talna. Hún hefur t.d. ekki verið kennd í skólum á 20. öld, einungis að draga rót undan ferskeyttri tölu. Líklegt er að fáir hafi kunnað að finna teningsrót og notað þá kunnáttu hér á landi enda trúlega fá tilefni til þess. Hún er þó stærðfræðilega rétt og hefur ekki brenglast í uppskriftum sem bendir til þess að ritari hafi kunnað hana. Mjög ólíklegt er annað en að þýðandi hafi kunnað þessa aðferð og allar þær aðferðir sem kynntar eru í Algorismus.

Höfuðskepnurnar og talnagildi þeirra.

 

Hver ferskeytt tala hefur II mælingar, það er breidd og lengd. En kúbus númerus hefur þrenna mæling. Það er breidd, lengd og þykkt eða hæð. Og því kalla spekingar hvern sýnilegan líkama með þessi tölu saman settan að hann hefur ávallt þessa mæling þrenna.

Með því að eilíf speki og einn Guð vildi heiminn sýnilegan og líkamlegan skapa þá setti hann fyrst II hinar fyrstu höfuðskepnur eld og jörð. Því að ekki má náttúrlega sýnilegt vera utan þær, þar sem eldur gerir ljós og hræring en jörð staðfesti og hald. En með því að þau hafa þrenna ójafna hvíligleika og gagn staðlega þá var náttúruleg nauðsyn að setja nokkuð milli þeirra það er samþykkti þeirra ósætti. Og sem fyrr var sagt að eldur og jörð og það allt sem líkamlegt er þá er með þrefaldri tölu er vér köllum kúbíkum saman sett þá ritum vér þessa tvo kúbíkus. Ritum jörðina þessa leið: Tvisvar sinnum II tvisvar, 2, 4, 8. En eldinn svo þrisvar III þrisvar, 3, 9, 27.

En með því að ekki eitt miðskeið má meðal þessara talna, einna það er jafnri hlutekning heyri til hvartveggja og engra annarra tveggja kúba, þá finnum vér tvær hlutfellingar tölur á þessa lund. Leiðum rót hins meira kúbs í kvaðratum hins minna kúbs. Það er tvisvar II þrisvar, 2, 4, 12, og rót hins minna kúbs í kvaðratum hins meira kúbs. Það er þrisvar þrír tvisvar, 3, 9, 18.

Þessar tvær tölur heyra jafnt til tveggja hinna enna fyrstu kúba því að 27 hafa í sér 18 og helming af 18, en 18 hafa í sér 12 og helming af 12. Svo hafa og 12 í sér 8 og helming af 8. Að sama hætti skaltu ávallt hluttekningar finna milli tveggja kúba.

Svo skipaði Guð tvennar höfuðskepnur milli elds og jarðar, loft og vatn. Og hefur vatn tvo hvíligleika af jörð og II tölur, af eldi einn hvíligleik og eina tölu. En loft hefur II hvíligleika af eldi og II tölur en einn af jörð og eina tölu. Og er eldur því léttari en loft sem 27 eru meiri en 18. En loft því léttara en vatn sem 18 eru meiri en 12. Vatn því léttara en jörð sem 12 eru meiri en 8. Má þetta fulligar skilja í þeirri fígúru er hér er síðar ger og kölluð er kúbus perfectus.

 

Kafli þessi hefur sérstöðu í Algorismus. Hann er ekki að finna í Carmen og að efni til er hann óskyldur í nútímaskilningi. Í stuttu máli er fyrstu höfuðskepnunum, jörð og eldi, úthlutað teningstölum, jörðinni 23 en eldi 33. Hins vegar er nauðsynlegt að setja eitthvað á milli þeirra „það er samþykki þeirra ósætti“. Þá eru valdar tölurnar 22•3 = 12 fyrir vatn, sem hefur þá tvo þætti af jörð en einn af eldi, og 2•32 = 18 fyrir loft, sem hlýtur einn þátt af jörð og tvo af eldi. Hafa þá höfuðskepnurnar raðast í rétta röð eftir því hve léttar þær eru: jörð, vatn, loft, eldur, í hlutföllunum 8, 12, 18, 27. Myndin, „fígúran“, fylgir ekki með þeim handritum sem Finnur Jónsson hefur notað en Bekken hefur getið sér til um hvaða mynd eigi hér við.[14]

Rætur Algorismuss

Eins og fyrr segir er Algorismus nærri orðrétt þýðing á þulu, Carmen de Algorismo, eftir Alexander de Villa Dei, franskan námsefnishöfund sem var uppi um 1200. Ekki er þó ólíklegt að einnig hafi verið höfð hliðsjón af riti Jóhannesar af Sacrobosco, De Algorismo eða Algorismus Vulgaris, sem er sama efnis en nokkuð yngra en Carmen de Algorismo.

Alexander de Villa Dei

Alexander de Villa Dei er talinn hafa fæðst um 1170 í Villedieu-les-Poëles í Normandie. Hann stundaði nám í París. Alexander samdi námsefni á latínu fyrir skóladrengi og var það allt bundið í ljóð. Þekktust er málfræði hans, Doctrinale, ein alvinsælasta kennslubók miðalda og endurreisnartímabilsins. Doctrinale er latnesk þula, ort undir sexliðahætti, alls 2645 vísuorð. Af henni eru til fjölmörg handrit og prentaðar útgáfur. Eftir Alexander liggja einnig önnur verk: Carmen de Algorismo sem hér verður fjallað um, Summaricum Biblicum, 212 vísuorð um atburði Biblíunnar, De Spaera, Ecclesiale og Massa Compoti. Tvö hin síðasttöldu fjölluðu um útreikning á kirkjuárinu og eru talin samin á eftir Doctrinale.[15]

Alexander varð síðar kanúki við dómkirkju heilags Andrésar í Avranches. Hann mun síðar hafa gengið í Fransiskusarregluna, þá hættur að sjá [16] og virðist hafa dáið nálægt miðri þrettándu öld.[17]

Carmen de Algorismo

Carmen de Algorismo er lítil þula undir sexliðahætti (hexameter), alls 284–333 vísuorð, mismörg eftir handritum. Talið er að Alexander hafi líklegast samið hana á árunum milli 1200 og 1203.[18] Þuluformið hefur auðveldað nemendunum að leggja efnið á minnið. Væntanlega hefur reikningurinn verið eins konar stuðningsgrein við reikninga kirkjunnar á kirkjuárinu. Sér í lagi lutu páskar flóknum útreikningum eins og gerist enn í dag.

Carmen de Algorismo náði mikilli útbreiðslu í Evrópu á 13. og 14. öld. Til eru mörg handrit af Carmen, m.a. í Bretlandi, Þýskalandi og Ítalíu. Bretinn Halliwell gaf Carmen de Algorismo út í riti sínu Rara Matematica 1839. Finnur Jónsson bar Algorismus saman við Carmen de Algorismo í þeirri útgáfu og taldi hann að þeim bæri að mestu saman.[19] Í þessari umfjöllun er tekið mið af texta Carmen de Algorismo útgefnum af Robert Steele 1922.[20]

The Crafte of Nombrynge,[21] sem áður er getið, er þýðing og útlagning á Carmen de Algorismo. Í The Crafte of Nombrynge er lagt út af hverju versi fyrri hluta Carmen de Algorismo í mörgum orðum og skýringardæmum sem bendir til þess að útskýringar í Carmen hafi þótt nokkuð knappar.

Upphaf indóarabískrar talnaritunar

Eins og segir í upphafi Algorismus er reiknilist sú, er þar er kynnt, ættuð frá Indverjum. Talið er að talnaritun í tugasætiskerfi hafi breiðst út frá Indlandi og verið komin til Sýrlands a.m.k. um miðja 7. öld e.Kr. Fyrsta bókin um þetta efni sem vitað er um er Kitāb al-jam´wal tafrīq bi hisāb al-Hind (Bók um samlagningu og frádrátt með aðferð Indverjanna) eftir Muhammad ibn-Mūsā al-Kwārizmī (u.þ.b. 780850). Því miður eru engin arabísk handrit til af þessari bók en til eru nokkrar mismunandi latneskar útgáfur gerðar í Evrópu á 12. öld. Í bókinni kynnir höfundur sætiskerfið, níu fyrstu tölurnar og hring til að tákna núll. Hann lýsir síðan aðferðum til að leggja saman, draga frá, tvöfalda, helminga, margfalda, deila og draga ferningsrót og gefur dæmi um notkun þessara aðgerða.[22]

Til er vísindaleg útgáfa af þessum latnesku handritum, unnin af André Allard, sem gefin var út í París 1990. Í því verki er rakinn skyldleiki handritanna. Þar kemur fram að Carmen er einna skyldust Liber alghoarismi de practica arismetrice sem þýdd og umrituð úr verki al-Kwārismīs af Jóhannesi frá Sevilla og Domingo Gundisalvo en þeir voru að störfum á tímabilinu 1135 til 1153.[23] Í latnesku útgáfunum eru reikniaðgerðirnar teknar fyrir í mismunandi röð. Í Carmen er tvöföldun kennd á undan helmingun eins og í Liber Alghoarismi og í riti samstofna því, Liber Pulueris.[24] Sérstaka athygli vekur þó að drátt teningsrótar virðist ekki að finna í ritum al-Kwārizmīs. Af því má álykta að Alexander de Villa Dei hafi þekkt til fleiri rita um stærðfræði. Eins og fyrr er nefnt er teningsrótin þekkt úr indversku riti, Āryabaţīya. Hugsanlegt er að sú þekking hafi borist með arabískum ritum inn í latneska þýðingu sem nú er glötuð.

Undanfari indóarabískrar talnaritunar í Evrópu var reikningur með talnagrind. Hver súla í talnagrindinni táknaði sæti fyrir margfeldi af veldi af 10 og núll var táknað með auðu sæti.[25] Hægt var að leggja saman, draga frá, margfalda og deila með talnagrind og eru rit um það til. Talnagrind var nefnd abakus og Robert Steele telur að höfundur Carmen de Algorismo hafi haft aðferðir abakista í huga en svo voru þeir nefndir sem reiknuðu á talnagrindum.[26]

Indóarabískar reikningslistir breiddust hratt út um evrópskan menningarheim á 13 öld. Þrátt fyrir að hin mikilvæga bók Leonardos Fibonacci, Liber Abaci, hafi komið út 1202 og sé oft talin upphafsrit indóarabískrar talnaritunar í Evrópu, er talið líklegt að hraða útbreiðslu þessara reikniaðferða á 13. og 14. öld megi þakka Carmen de Algorismo Alexanders de Villa Dei og riti Jóhannesar af Sacrobosco, De Algorismo eða Algorismus Vulgaris. Bæði þessi rit urðu mjög útbreidd.[27]

Reikniaðferðir í Carmen de Algorismo og Algorismus

Carmen de Algorismo mun vera fyrsta verkið á latínu þar sem litið er á núllið sem tölustaf.[28] Önnur nýjung er dráttur teningsrótar eins og fyrr er nefnt.[29] Reikniaðferðirnar sem kynntar eru í Algorismus og Carmen de Algorismo byggjast á tugasætiskerfinu enda er hlutverk þessara rita að kynna það og reiknilistir þar að lútandi.[30]

Þegar reikniaðferðirnar eru skoðaðar ber að hafa í huga að reikningarnir voru ritaðir í sand eða salla stráðan á plötu eða þá plötur með vaxi.[31] Við útreikningana þurrkast tölustafirnir líklega út og aðrir stafir ritaðir í þeirra stað. Það hafði síðan áhrif á reikniaðferðirnar að upphaflegar tölur hverfa smám saman við aðgerðirnar. Það bættist við samlagningarstofninn og margfaldarann, frádráttarstofninn minnkaði og deilistofninn hvarf að öllum líkindum. Sætiskerfið er þannig byggt upp að það vex til vinstri og við yfirritun er því heppilegt að vinna verkið frá vinstri til hægri. Þannig er farið að við tvöföldun, margföldun og deilingu.

Við samlagningu, frádrátt og helmingun er þó unnið frá hægri. Í helmingun er það einmitt réttmætt af því að hálfur tugur bætist við sætið til hægri þegar helminga þarf oddatölufjölda. Sama gildir um frádrátt þar þarf að taka til láns af tugstöfum. Sé slíkt lán sótt yfir mörg sæti er heppilegra að hefja frádráttinn í einingasæti. Þó má ímynda sér að menn hafi ekki farið svo að í hugareikningi fremur en nú. Mönnum hefur ef til vill ekki þótt síðra að leggja saman frá vinstri ef vel er gætt að sætaskipan en vinnsla frá hægri hafi orðið ofan á vegna tengsla við frádrátt. Hafa þarf í huga að aðeins var unnið með tvær tölur í senn.

Tvöföldun er framkvæmd frá vinstri eins og margföldun. Sérstaklega er tekið fram í latneskum skýringarritum með Carmen að hætta sé á að gera villu með því að byrja frá hægri. Þá geti stafir tvöfaldast tvisvar sinnum.[32] Lausnin verði rétt með því að byrja frá vinstri og fá þannig tölustafina í réttri röð.

Í texta Algorismuss eru tölustafirnir víðast ritaðir á rómverskan hátt eða þá fullum stöfum í texta. Undantekning er þó í kynningu í upphafi, í kaflanum um talnaritun og jafnar tölur og ójafnar, sem eru íslensk innskot í þýðinguna, og í lokakaflanum um höfuðskepnurnar sem er ekki heldur ættaður úr Carmen de Algorismo. Í Carmen eru notaðir bókstafir enda er Carmen þula sem ætluð er til að leggja á minnið.

Höfuðskepnurnar

Í síðustu grein Algorismuss er lýst kenningu Platóns um samhengið milli höfuðskepnanna fjögurra, reglulegra margflötunga og hlutfallafræðinnar. Þetta mun líkast til vera eini vitnisburðurinn um það að þessar hugleiðingar úr Tímaíosi eftir Platón hafi verið kunnar á Norðurlöndum [33] eins og fyrr er getið. Í Tímaíosi eru þó engar tölur nefndar. Þar segir að þar sem heimurinn sé líkami (en ekki slétta án dýptar) þurfi milliliði til að halda saman líkömunum. Þess vegna hafi guð sett vatn og loft á milli elds og jarðar og sett þau í sama hlutfall hvert við annað þannig að loft sé í sama hlutfalli við vatn og eldur við loft. Einnig sé vatn í sama hlutfalli við jörð og loft við vatn. Þannig hafi hann bundið saman og hannað sýnilegan og áþreifanlegan heim.[34]

Í áttundu bók Frumþátta Evklíðs, reglu 12, segir: „Milli tveggja teningstalna eru tvær miðhlutfallatölur og teningurinn hefur við teninginn hlutfallið þrímargfaldað sem hliðin hefur við hliðina.“[35] Í meðfylgjandi texta er síðan sýnt að tölurnar a2b og ab2 eru hin tilteknu miðhlutföll a3 og b3.

Einhvern tímann hafa hugmyndir Platóns fengið talnagildi þannig að a hefur fengið gildið 2 og teningur tveggja, 8, orðið fulltrúi jarðar en b gildið 3 og teningur þriggja, 27, fulltrúi eldsins. Vatn og loft hafa fengið samsvarandi miðhlutfallstölur, 12 og 18. Þeir fræðimenn sem um Algorismus hafa fjallað hafa ekki getað bent á uppruna þess. Otto Bekken nefnir þó latneska útleggingu Boäthiusar (um 480–524) á Kynningu á reikningi, verki gríska Ný-Pýþagóringsins Nikomachusar sem vann úr hugmyndum frá Tímaíosi einmitt með tölunum 8, 12, 18 og 27. Bekken nefnir ennfremur Jóhannes af Sacrobosco og Petrus Philomena de Dacia, ritskýranda hans, sem eru enn nær Algorismus í umfjöllun sínum um sömu tölur.[36] Rit Jóhannesar af Sacrobosco voru kunn á Íslandi á líklegum ritunartíma Algorismuss.

Tilurð Algorismuss og notkun

Hauksbók

Haukur Erlendsson lögmaður (1265–1334) safnaði margvíslegum fróðleik í Hauksbók, skinnhandrit sem sannanlega eru rituð af honum sjálfum og riturum undir umsjá hans.[37]

Hauksbók er e.k. safnrit um fjölskrúðugt efni: sögu, guðfræði, landafræði, náttúrufræði, tímatal, reikningslist og fleira. Í henni eru m.a. handrit af Landnámabók, Kristnisögu, Fóstbræðrasögu, Eiríks sögu rauða, Trójumannasögu, Bretasögum, Algorismus, sem hér er greint frá, auk smærri greina um ýmis náttúrufræði og heimsfræði.

Stefán Karlsson telur að sá hluti Hauksbókar, sem Algorismus er í, hafi að mestu verið ritaður á tímabilinu 1302–1310, og telur nærtækt að ætla hann ritaðan á árunum 1306–1308 er Haukur Erlendsson dvaldist á Íslandi.[38]

Haukur Erlendsson

Lítið er vitað um æsku Hauks, uppvöxt og menntun. Getgátur eru um að Styrmir Kárason hinn fróði hafi verið langafi hans. Vitað er að Styrmir og Snorri Sturluson voru félagar og er jafnvel talið að Styrmir hafi verið heimilismaður Snorra í Reykholti.[39] Haukur Erlendsson er talinn hafa verið afar iðjusamur og hafa haft fjölþætt áhugamál eins og Hauksbók ber vitni um.

Hauks er fyrst getið í heimildum árið 1294. Þá var hann var lögmaður sunnan og austan. Hann mun ekki hafa gegnt því embætti nema eitt ár.[40] Árið 1302 er vitað um Hauk í Noregi þar sem titlar sig lögmann í Osló. Árið 1304 var hann á Íslandi, e.t.v. sem nokkurs konar fulltrúi Noregskonungs. Árið 1305 er hann í Noregi og kemur út til Íslands árið 1306. Hann er á landinu til 1308. Þá stofnar hann spítala lærðra manna í Gaulverjabæ í Árnessýslu. Haukur er titlaður lögmaður fram til 1322 og heimildir sýna að umdæmi hans hafi verið Gulaþing í Vestur-Noregi. Ekki er vitað um verustað Hauks árin 1323-1329. Hann er í Noregi árið 1329 og dvelst í Noregi til dauðadags árið 1334. Líklegt er að Haukur hafi verið um þrítugt er hann varð fyrst lögmaður og því gæti hann verið fæddur um 1265.[41]

Dvalarstaður Hauks á Íslandi 1306–1308 á líklegum ritunartíma Algorismuss er ókunnur en giskað er á út frá öðrum ritum í Hauksbók að það gæti verið Viðey.[42] Eitt meginrit Hauksbókar er Landnámabók sem Haukur hefur sjálfur ritað. Viðbætur þær sem Haukur hefur ritað umfram önnur þekkt handrit af Landnámabók benda eindregið til þess að Haukur hafi verið kunnugur bókum klaustursins í Viðey.[43] Ennfremur má ráða af ritum Hauks að stærðfræði hafi verið meðal áhugamála hans og að hann hafi kunnað að reikna ummál hrings.[44]

Handrit Algorismuss

Algorismus er önnur tveggja beinna þýðinga Carmen de Algorismo á þjóðtungur sem vitað er um. Hin er brot úr Carmen á frönsku sem varðveitt er í tveimur handritum frá 13 öld.[45]

Algorismus er sem fyrr segir að finna í Hauksbók sem er að mestu varðveitt í þremur handritum Árna Magnússonar, AM 371, 4to, 544, 4to, og 675, 4to. Texti Algorismuss er í AM 544, 4to en hann er einnig að finna í þremur öðrum íslenskum handritum frá fjórtándu og fimmtándu öld, GKS 1812, 4to, AM 685d, 4to og AM 736, III, 4to sem inniheldur brot af Algorismus.[46] Finnur Jónsson prófessor hefur gert samanburð á þessum textum [47] og telur að þeir séu nokkurn veginn samhljóða. Hann telur textann í 685 fara einna næst frumtexta sem þessi handrit eru ættuð frá. Hauksbók og 1812 séu yfirleitt samhljóða og þar sem sömu villur er að finna í þeim báðum séu þau handrit samstofna og hljóti að vera komin af sama frumriti með villum í. Þó eru sums staðar réttari orðmyndir í 1812 en í Hauksbók. Finnur telur að afar ólíklegt sé að þýðandinn hafi bætt við viðaukanum um höfuðskepnurnar en getur þó ekki bent á fyrirmyndina.

Stafagerð tölustafanna fremst í handriti Hauksbókar telur Finnur Jónsson vera frá því fyrir 1270. Það sé ekki sönnun þess að upphaflega handritið sé eldra en svo en þó sé ekki ósennilegt að svo sé. N. Beckman telur að stafagerðin sé komin frá Jóhannesi af Sacrobosco sem talinn er hafa látist 1265.[48]

Að öllu samanlögðu segir Finnur að nokkuð sé um misskilning í uppskrift handritsins og ritari Hauksbókar eða forrits hennar hafi ekki alltaf skilið samhengið. Þó megi nánast alltaf fá réttan texta með samanburði handrita. Í útgáfu Finns á handriti Hauksbókar, sem hér hefur verið fylgt, hafa villur í uppskrift verið leiðréttar að mestu.

Finnur Jónsson telur skorta allt hald fyrir þá tilgátu að Haukur Erlendsson lögmaður, sá er Hauksbók er kennd við, eigi nokkurn hlut í þýðingu eða vinnslu textans.[49] Haukur hefur skrifað stóran hluta Hauksbókar sjálfur. Hann hefur þó ekki skrifað Algorismus upp heldur íslenskur ritari hans.[50]

Ritgerðin Algorismus hefur verið rannsökuð af nokkrum fræðimönnum. P.A. Munch gaf hana út árið 1847 og Finnur Jónsson á árunum 1892–96. Suzan Rose Benedict skrifaði um hana í Ph.D.-ritgerð sinni árið 1914 um fyrstu ritgerðir sem kynna indverska reikningslist í Evrópu. Jón Helgason gaf út ljósprentun af Hauksbók ásamt handritafræðilegum skýringum í Manuscripta Islandica og Otto B. Bekken og Marit Kristoffersen gáfu hana út á norsku þar sem Bekken skrifaði um stærðfræðilegt innihald hennar.

Styrmir Kárason

Styrmir Kárason var lögsögumaður 1210–1214 er Snorri Sturluson tók við. Til lögsögumanns þurfti „valinn mann, stjórnsaman, lögfróðan, rímkænan og mælskan“ [51] svo að Styrmir hefur haft rímfræðin, þ.e. tímatalsfræðina á valdi sínu. Styrmir varð aftur lögsögumaður 1232–1235. Styrmir var í erindum fyrir Snorra Sturluson á árunum 1228 og 1230 og menn hafa giskað á að Styrmir hafi á þeim árum verið heimilismaður Snorra Sturlusonar.[52] Hann gekk í Viðeyjarklaustur og var þar príor 1235–1245. Hann lést 20. febrúar 1245.

Styrmir er þekktur fyrir Styrmisbók, sérstaka gerð af Landnámu sem við hann er kennd, en handrit af henni eru glötuð.[53] Haukur Erlendsson minnist á það í eftirmála Landnámu sinnar í Hauksbók að hann hafi haft fyrir sér Landnámabók Styrmis. Styrmisbók er sennilega rituð snemma á árabilinu 1222–1231.[54] Þá hefur þess verið getið til að Harðar saga hafi verið skrifuð af Styrmi í Viðeyjarklaustri er hann var þar príor.[55]

Viðeyjarklaustur

Viðeyjarklaustur var stofnað 1225. Þar var regla heilags Ágústínusar. Þar fór fram kennsla þótt skóli þar sé hvergi nefndur beinlínis í heimildum. Enginn staður á Íslandi var betur búinn að skólabókum og sagnfræðiritum en Viðeyjarklaustur.[56]

Samkvæmt aldagamalli hefð skiptist skólanám í sjö námsgreinar eða hinar sjö frjálsu listir. Þrjár þeirra nefndust þrívegurinn en þær voru málfræði, mælskufræði og rökfræði, kenndar í aðalatriðum sem ein námsgrein. Nefna má að málfræðibókin Doctrinale Puerorum eftir Alexander de Villa Dei, þar sem málfræðireglum var komið í bundið mál, varð mjög til að breyta málfræðináminu í evrópskum skólum á 13 öld.[57] Doctrinale er að finna í bókaskrá Viðeyjarklausturs árið 1397.[58]

Stærðfræðigreinar, tölvísi, flatarmálsfræði og stjörnufræði, voru uppistaða fervegarins, hinna fjögurra námsgreinanna. Auk þeirra var sönglist talin til fervegarins. Stærðfræðigreinar voru iðkaðar saman í evrópskum klaustur- og kirkjuskólum. Sjaldan var skilið glögglega milli einstakra greina heldur voru þær kenndar sem ein heild.[59] Alexander de Villa Dei samdi námsefni, hliðstætt við Doctrinale, um talnareikninga í Carmen de Algorismo annars vegar og tímatalsreikninga í Massa Compoti og Ecclesiale hins vegar.

Freistandi er að álykta að allt frá tímum Styrmis fróða í Viðeyjarklaustri hafi þar verið iðkaður fróðleikur um tímatalsreikninga og talnafræði og talið er að iðkun stærðfræði og raungreina hafi þar verið á allháu stigi á síðasta hluta 13. aldar.[60] Skulu hér nú rakin nokkur atriði sem styðja þá skoðun.

Ritgerðin Rím II, sem fjallar um stærðfræðileg efni, er ef til vill rituð í Viðey, þar sem sjávarfallareikningar í ritgerðinni þykja benda til Viðeyjar.[61] Í Rími II er m.a. að finna tilvitnanir í Frumþætti (Elementa) Evklíðs, námundagildið 22/7 á hlutfalli ummáls hrings og þvermáls og ýmislegt um hlutföll, auk tímatalsreikninga, stjörnufræði. Þar er notuð indóarabísk talnaritun, ef til vill í fyrsta sinn á íslensku af þeim ritum sem hafa verið tímasett, en talið er að ritgerðin Rím II hafi verið rituð á tímabilinu 1275–1300.[62] Olaf Pedersen telur að Rím II sé frjálsleg útlegging á Computus Ecclesiasticus eftir Sacrobosco.[63]

Hugsanlegt er að handritið GKS 1812, 4to, hafi verið varðveitt í Viðey.[64] Það er komið frá ættfólki Alexíusar Pálssonar, síðasta ábóta í Viðey. Elsti hluti handritsins er með rithönd frá um 1200 og er greinilega ritaður af lærðum manni. Hann fjallar um tímatal og tímatalsreikning, sumaraukann og rímtal. Annar hluti þess er með rithönd frá um 1250 og fjallar m.a. um tímatal, sólargang, mánaðatal íslenskt, tunglgang o.fl. Ekki er talið óhugsandi að rithönd Styrmis Kárasonar sé ein rithönd af 6 á einu skinnblaði úr þessu safni (bls. 69–70).[65] Þriðji og fjórði hluti GKS 1812, 4to, eru með hendi frá 14. öld. Þar er m.a. handrit af Algorismus sem er samstofna handritinu í Hauksbók. Handritið 1812 er að mestu leyti um efni fervegarins, talnafræði, tímatal og stjörnufræði, og það fjallar víða um svipað efni og Rím II. Mætti jafnvel geta þess til að því hafi áður tilheyrt upprunaleg þýðing Algorismuss sem handritin Hauksbók og 1812 eru rituð eftir.

Vert er að nefna að til er skrá yfir bækur í Viðey í máldaga Viðeyjarklausturs sem skráður var af Vilchin biskupi 1397. Þar er að finna meðal kennslubóka Doctrinale eftir Alexander de Villa Dei og níu versabækur aðrar.[66] Gætu önnur rit eftir Alexander verið meðal þeirra, t.d. Carmen?

Var ritgerðin Algorismus rituð í Viðey?

Óneitanlega er eftirsóknarvert að komast að því hvernig Algorismus hefur orðið til á íslensku. Um það eru engar beinar heimildir en reyna má að gera sér í hugarlund hvar og hvenær það hafi verið gert og hverjir hafi staðið að verkinu. Texta á borð við Algorismus er ekki hægt að þýða eða jafnvel afrita nema að skilja hann vel. Ekki verður annað séð en að textinn hafi komist óbrenglaður á íslensku þótt Finnur Jónsson tíundi nokkur atriði í handritum sem rekja má til misskilnings.[67]

Líklegt er að lærðir menn hafi getað lagt saman og dregið frá á talnagrindum og jafnvel margfaldað og deilt og hafi þannig skilið þær aðgerðir. En drættir ferningsrótar og teningsrótar eru flóknar aðgerðir og sjaldnotaðar og hafa án efa borist til Íslands með Carmen.

Þrátt fyrir að öll handrit ritgerðarinnar sem nú eru til séu frá 14. öld eða síðar, hið elsta frá því fyrir 1310, er mjög líklegt að þýðing og fyrsta handrit Algorismuss hafi verið ritað á 13. öld. Carmen er rituð um 1200 og getur vel hafa borist til Íslands fyrir miðja 13. öld. Þeir Alexander de Villa Dei og Styrmir Kárason eru samtíðarmenn. Styrmir lifði í rúma fjóra áratugi eftir ritun Carmen og hefur því getað haft kynni af henni og þýtt hana eða látið þýða.

Um það hvað gerst hefur eru getgátur einar en gæla mætti við þessa tilgátu: Handrit af Carmen hefur borist til Viðeyjarklausturs, jafnvel á tíma Styrmis á árum 1235–1245. Íslendingar fóru víða á 13. öld. Sagnir eru af suðurgöngum fyrirmanna á þessum tíma. Í Hauksbók er einmitt að finna leiðarlýsingu til Rómar og fjarlægðir milli borga á þeirri leið.[68] Menntun jókst hröðum skrefum í Evrópu á 13. öld og Íslendingar fylgdust mjög vel með því sem þar gerðist.[69] Ekki er ólíklegt að einhverjir suðurfarar hafi haft hið nýjasta í fræðunum í pússi sínu við heimkomuna.

Lærdómsmenn í Viðey hafa numið hin latnesku vers Carmen sem þulur enda hefur varla verið til nema eitt eintak í klaustrinu. Síðan hefur einhver, sem kunnað hefur þuluna vel og skilið aðgerðirnar að því marki að hann hefur getað reiknað eftir þeim, snarað henni á íslensku.

Algorismus hefur jafnvel verið ritaður á undan Rími II. Í Rími II eru notaðar indóarabískar tölur í textanum. Í Algorismus eru indóarabísku talnatáknin aðeins kynnt í upphafi og í lokakaflanum um höfuðskepnurnar sem hvorki er að finna í Carmen de Algorismo né í öllum handritum af Algorismus. Annars er notuð rómversk talnaritun eða orð þegar tölur koma fyrir í textanum.

Enn ein vísbendingin um Viðey eru tilgátur, sem fyrr eru nefndar, um að Haukur Erlendsson hafi dvalið í Viðey 1306–1308 á ritunartíma Algórismuss í Hauksbók eða a.m.k. haft góðan aðgang að bókum sem þar var að finna.

Ef til vill hafa skólasveinar haldið áfram að læra romsuna á latínu þó að búið væri að þýða hana á íslensku. Auðveldara er að muna slíkar runur í bundnu máli en óbundnu. Að öðru leyti hefur fróðleikurinn að líkindum borist frá manni til manns með sýnikennslu á spjöldum stráðum sandi eða vaxspjöldum. Í Viðey hafa fundist vaxspjöld sem nota hefur mátt til þeirra hluta.[70]

Þáttur Sturlunga

Í Sturlunga sögu segir um þá Snorra Sturluson og Sturlu Sighvatsson bróðurson hans árið 1230:

„Snorri reið eigi til þings en lét Styrmi prest hinn fróða ríða til þings með lögsögn. Nú tók að batna með þeim Snorra og Sturlu og var Sturla löngum þá í Reykjaholti og lagði mikinn hug á að láta rita sögubækur eftir bókum þeim er Snorri setti saman.“[71]

Í skýringum segir að þetta sé allt og sumt sem Sturlunga hefur að segja um ritstörf Snorra.[72] Enn var kært með þeim frændum, Snorra og Sturlu, 1231 og árið 1232 vildi Snorri hafa liðveislu af Sturlu á þingi.[73] Í framhaldi fer Sturla Sighvatsson í suðurgöngu til Rómaborgar árið 1233 og kemur til baka árið 1235. Ekki er óhugsandi að Sturla hafi haft nokkur handrit í farteski sínu. Í skáldsögu sinni, Morgunþulu í stráum, gerir Thor Vilhjálmsson því skóna að Snorri hafi hvatt Sturlu til að leita handrita í París á leið sinni til páfans í Róm, raunar að skræðum Sæmundar fróða. „Þá má gá að fleiru í leiðinni svo að hallist ekki á baggarnir. Og snarist.“ leggur Thor Snorra orð í munn.[74]

Út frá framangreindum tilvitnunum mætti hugsa sér að Sturla hafi eignast handrit um alfræði, m.a. Carmen de Algorismo. Carmen hafi síðan verið seld eða gefin til Viðeyjar þar sem Styrmir hinn fróði er að taka við sem príor 1235. Klaustrið var a.m.k. vel efnum búið til að kaupa slík verk. Þeir Styrmir og Sturla þekktust eins og fram kemur í ofangreindri tilvitnun í Sturlunga sögu og Þórhallur Vilmundarson hefur sett fram tilgátu um að Styrmir hafi haft örlög Sturlu Sighvatssonar í huga er hann ritaði Harðar sögu um það leyti sem hann horfði á Sturlungagætt kvistaða niður; Sturlu, föður hans og bræður í Örlygsstaðabardaga 1238 og Snorra Sturluson 1241.

Hugmyndin er skemmtileg en á hitt ber að líta að rit Thors er skáldsaga og sagan minnist Sturlu síst fyrir lærdómslistir. Öllu líklegra er að Carmen hafi borist til landsins með kirkjunnar mönnum, innlendum eða erlendum, s.s. erlendum biskupum eða þeim íslenskum prestum sem fóru utan að sækjast eftir biskupstign. Þess má hins vegar geta að París var miðstöð slíkra lærdómslista einmitt á þessum tíma, um eða fyrir miðja 13. öld.[75]

Hvernig sem Carmen hefur borist til landsins er freistandi er að ætla Styrmi að hafa átt hlut að máli er hún var þýdd. Hann hafði hina nauðsynlegu þekkingu á valdi sínu. Þá má minna á að Haukur Erlendsson hafði Styrmisbók Landnámu til hliðsjónar er hann tók saman sína Landnámu Hauksbókar, Haukur þekkti til Harðar sögu [76] og auk þess eru getgátur um að Styrmir hafi verið langafi Hauks. Þessi atriði benda til þess að Haukur hafi sótt í smiðju Styrmis þótt vitaskuld sanni þau ekki að Styrmir hafi þýtt Algorismus.

Að hve miklum notum komu þessi fræði?

Tölvísin sem fólst í Algorismus hefur væntanlega verið samþætt tímatalsfræðinni sem var nauðsynleg kunnátta fyrir embættismenn kirkjunnar til að fylgjast með helgidögum hennar. Nokkurrar reikningskunnáttu hefur það krafist að ráða við útreikninga á tímatalinu og þá hefur ekki verið ónýtt að hafa hinar indóarabísku reikningsaðferðir á valdi sínu. Ekki má heldur gleyma útreikningum á sjávarföllum sem hafa verið Íslendingum þarfir, ekki síst þeim sem í eyjum bjuggu eins og Viðey. Sumt hefur þó verið utan þess sem nota þurfti, s.s. dráttur fernings- og teningsróta. Það, að slíkt efni skuli hafa verið námsefni fyrir skólasveina, fyrst í Carmen og síðan þýtt á íslensku, ber vott um að fróðleiksfýsn hefur leitt evrópska skólamenn 13. aldar út fyrir nauðsyn brýnna þarfa.

Áhrif á menntun síðari tíma

Hafði þýðing Algorismuss einhver áhrif á menntun síðari tíma? Víst er um það að indóarabískar reikningsaðferðir breiddust fljótlega út um evrópskan menningarheim. Rómversk talnaritun féll þó ekki í gleymsku heldur hefur lifað fram á þennan dag, t.d. við tölusetningu.

Fræðimaðurinn Otto B. Bekken hefur ritað um Algorismus í tímaritið Nordisk Matematikk Didaktikk árið 1995. Þar rekur hann þær rannsóknir sem gerðar hafa verið á uppruna textans og leitast við að svara spurningunni um hvað ritið segi um stærðfræðinám og skilning á stærðfræði á Íslandi og í Noregi á 14. öld í samanburði við aðra staði í Evrópu. Hann segir ljóst að rit Alexanders og Jóhannesar af Sacrobosco hafi greinilega verið vel þekkt í báðum löndum, bæði á latínu og þjóðtungunni. Algorismus hafi augsýnilega verið kennslubók í notkun sætiskerfis talna. Mikilvægasta breytingin við að innleiða indóarabískar tölur sé gjörbreyting á meginreglum reikniaðferða sem þar eru kynntar. Við hinn nýja rithátt keppti rómverski talnarithátturinn og reikningar á talnagrind. Á tímum Hauks Erlendssonar hafi engan veginn verið útséð um hvort talnakerfið næði yfirhöndinni. Fyrstu prentuðu bækurnar um reikning komu út á Ítalíu 1478 og 1484. Aðgengi að pappír og þróun prentlistar leiddu smám saman til samræmingar á talnaritun og reikniaðferðum. Talnagrindin hvarf og tvöföldun og helmingun urðu að sértilvikum af margföldun og deilingu.[77]
 

Tilvísanir

  1. Finnur Jónsson, 1892–96: 417–424.

  2. Pedersen, Olaf, 1966: 498.

  3. Bekken et al, 1985: 27.

  4. Allard, 1990: 1.

  5. Curtze, M, 1897: 1.

  6. Bundgaard, A., 1972, 79–83.

  7. Bekken et al, 1985: 49–50.

  8. Steele, R., 1988: v.

  9. Steele, R., 1988: 9–10.

  10. Steele, 1988: 24–25.

  11. Bundgaard, A., 1972, 79–83.

  12. Beaujouan, Guy, 1954: 106.

  13. Katz, V.J., 1993: 202.

  14. Bekken, O.B., 1986: 14.

  15. Lind , L.R., 1958: [1]–[4].

  16. Hughes, Barnabas, 1984: 9.

  17. Lind, L.R., 1958: [1].

  18. Beaujouan, Guy, 1954: 106.

  19. Finnur Jónsson, 1892–96: CXXXII.

  20. Steele, R., 1988: 72–80.

  21. Steele, R., 1988: 3–32.

  22. Katz, V.J. 1993: 225. Allard, A., 1990: I.
    Hér segir að ritin hafi verið tvö.

  23. Katz, V.J. 1993: 268.

  24. Allard, A., 1990: XXXI.

  25. Katz, V.J., 1993: 267.

  26. Steele, R., 1988: xv.

  27. Allard, André, 1990: II.

  28. Benedict, S.R., 1913: 123.

  29. Beaujouan, Guy, 1954: 106.

  30. Bekken, Otto B., 1995: 17.

  31. Steele, R., 1988: xv.

  32. Beaujouan, Guy, 1954: 108.

  33. Þorsteinn Vilhjálmsson, 1992: 49.

  34. Platón: Tímaíos, 31c og áfram.

  35. Heath, T.L., 1956: Vol. 2, 364.

  36. Bekken, Otto B., 1986: 12–15.

  37. Stefán Karlsson, 1964: 115–116.

  38. Stefán Karlsson, 1964: 119.

  39. Jón Jóhannesson, 1941: 137.

  40. Stefán Karlsson, 1964: 114.

  41. Finnur Jónsson, 1892–96: II-IV.
    Jón Helgason. 1960: VI–VII.

  42. Helgi Guðmundsson, 1967: 82.

  43. Jakob Benediktsson, 1968: LXXIX.

  44. Helgi Guðmundsson, 1967: 68.

  45. Bekken, Otto B., 1995: 17.

  46. Jón Helgason, 1960: XVII.

  47. Finnur Jónsson, 1892–96: CXXXI.

  48. Beckman, N., 1915: XXXVIII.

  49. Finnur Jónsson, 1892–96: CXXXII.

  50. Finnur Jónsson, 1892–96: XIV,
    Jón Helgason, 1960: IX–XI.

  51. Jón Jóhannesson, 1956: I 67.

  52. Jakob Benediktsson, 1968: CIV.

  53. Jakob Benediktsson, 1968: LII.

  54. Þórhallur Vilmundarson, 1991: CLXX.

  55. Þórhallur Vilmundarson, 1991: XLIV.

  56. Þórir Stephensen, 1992: 146.

  57. Sverrir Tómasson, 1988: 12–18.

  58. Diplomatarium Islandicum IV, 1897: 110–111.

  59. Sigurður Líndal, 1974: 264.

  60. Þórir Stephensen, 1992: 139.

  61. Beckman, N, 1914–16: XLV–L.

  62. Beckman, N, 1914–16: XLIV–XLV, XCVIII.

  63. Pedersen, Olaf, 1966: 494.

  64. Diplomatarium Islandicum I, 1857–1876: 183–184.

  65. Þórir Stephensen. 1992: 127.

  66. Diplomatarium Islandicum IV, 1897: 110–111.

  67. Finnur Jónsson, 1892–96: CXXXI–CXXXII.

  68. Finnur Jónsson, 1892–96: 502.

  69. Þorsteinn Vilhjálmsson, 1990: 43.

  70. Heimasíða Árbæjarsafns, 2003.

  71. Jón Jóhannesson et al, 1946: I 342.

  72. Jón Jóhannesson et al, 1946: I 565–6.

  73. Jón Jóhannesson et al , 1946: I 358.

  74. Thor Vilhjálmsson, 1998: 214.

  75. Samtal við Jens Høyrup lektor,
    Roskilde Universitets Center í desember 2002.

  76. Þórhallur Vilmundarson, 1991: VIII.

  77. Bekken, Otto B., 1995: 19-20.

Heimildir

Allard, André: Muhammad Ibn Mūsā al-Kwārizmī. Le Calcul Indien, París, 1990.

Beaujouan, Guy: D’Alexandre de Villedieu à Sacrobosco. Homenaje à Millás-Vallicrosa, Vol 1. Barcelona, 1954.

Beckman, N.: Alfræði Íslensk. Islandsk encyklopdisk litteratur, II Rímtöl. Khöfn, 1915.

Bekken, Otto B. og Christoffersen, Marit: Algorismus i Hauksbok. Agder Distrikthögskole.
Skrifter 1985:1.

Bekken, Otto B.: On the Cubus Perfectus of the Algorismus in Hauksbok. Agder Distrikthögskole. Skrifter 1986:2.

Bekken, Otto B.: Algorismus i Hauksbok. Nordisk Matematikk Didaktikk, Vol. 3(1), bls. 7–26, 1995.

Benedict, Suzan Rose: A Comparative Study of the Early Treatises Introducing into Europe the Hindu Art of Reckoning. A PhD thesis, University of Michigan, 1913.

Bundgaard, Agnethe: Stærðfræði. Reikningur, 3b. Reykjavík, 1972.

Curtze, Maximilianus: Petri Philomeni de Dacia in Algorismum Vulgarem Johannis de Sacrobosco Commentarius. Haunaie, 1897.

Diplomatarium Islandicum I. Ritstj. Jón Sigurðsson. Khöfn, 1857–1876.

Diplomatarium Islandicum IV. Ritstj. Jón Þorkelsson. Khöfn, 1897.

Finnur Jónsson: Hauksbók. Khöfn, 1892–96.

Heath, Thomas L (ritstj.): The Thirteen Books of Euclids Elements, Vol. 1–3. New York, 1956.

Heimasíða Árbæjarsafns: Fornleifarannsóknir í Viðey. http://www.strik.is/rvk/um/?forn. [2003]

Helgi Guðmundsson: Um Kjalnesingasögu. Studia Islandica 26. Rvík, 1967.

Hughes, Barnabas: Franciscans and Mathematics II. Archivum franciscanum historicum, 77. 1984.

Høyrup, Jens: Samtal í Roskilde Universitets Center, desember 2002.

Jakob Benediktsson: Íslendingabók. Landnámabók. Rvík 1968.

Jón Helgason: Hauksbók. Manuscripta Islandica, Vol. 5. Khöfn, 1960.

Jón Jóhannesson: Gerðir Landnámabókar. Rvík 1941.

Jón Jóhannesson: Íslendinga saga I og II. Rvík, 1956–1958.

Jón Jóhannesson, Magnús Finnbogason og Kristján Eldjárn: Sturlungasaga I og II. Rvík 1946.

Katz, Victor J.: A History of Mathematics. An Introduction. New York 1993.

Lind, L.R.: Ecclesiale by Alexander de Villa Dei, University of Kansas Press, 1958.

Pedersen, Olaf: Matematisk litteratur. Kulturhistorisk Leksikon for Nordisk Middelalder, XI,
491–500, 1966.

Platón: Tímaíos. Platons skrifter í oversættelse. 8. bindi. Khöfn, 1940.

Sigurður Líndal: Upphaf kristni og kirkju. Saga Íslands I. Reykjavík, 1974.

Steele, Robert (ritstj.): The Earliest Arithmetics in English. Millwood, N.Y., 1988.

Stefán Karlsson: Aldur Hauksbókar. Fróðskaparrit 13, bls. 114–121. Tórshavn, 1964.

Thor Vilhjálmsson: Morgunþula í stráum. Rvík, 1998.

Þorsteinn Vilhjálmsson: Alþýðuvísindi. Íslensk Þjóðmenning VII. Rvík 1990.

Þórhallur Vilmundarson: Harðar saga. Rvík, 1991.

Þórir Stephensen: Menntasetur að Viðeyjarklaustri. Ritgerð. Rvík, 1992.