Netla – Veftímarit um uppeldi og menntun

Rannsóknarstofnun Kennaraháskóla Íslands

Grein birt 17. desember 2003

Kristín Bjarnadóttir

Menntun stærðfræðikennara,
námsmat og stærðfræðileg hæfni

Í greininni eru dregin saman atriði í nýlegri skýrslu Dana um stærðfræðimenntun ásamt erindi Mogens Niss um sama efni á málþingi um stærðfræðimenntun í nútíð og framtíð í Kennaraháskóla Íslands 24. og 25. október 2003. Niss er prófessor við Háskólann í Hróarskeldu og leiddi starfshópinn að baki skýrslunni sem jafnan er nefnd KOM-skýrslan. Hér er sagt frá nokkrum meginatriðum hennar, erindi Niss og hugleiðingum höfundar á þeim grunni. Höfundur er lektor í stærðfræðimenntun við Kennaraháskóla Íslands.

Inngangur

Á þessu hausti hafa farið fram óvenju miklar umræður um stærðfræðinám og kennslu og er það vel. Stærðfræði er umfangsmikil námsgrein í skólum landsins og þar með einnig ríkur þáttur í lífi ungmenna, a.m.k. um ellefu ára skeið. Umræðan hér á Íslandi er ekki einangrað fyrirbæri heldur fer umræða um stærðfræðikennslu fram víða um lönd.

Nýlega skilaði starfshópur áliti til danska menntamálaráðuneytisins sem svari við nokkrum spurningum sem ráðuneytið setti fram varðandi nám og kennslu í stærðfræði þar í landi. Álitið er birt í skýrslunni Kompetancer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark sem var gefin út árið 2002. Skýrslan hefur verið birt í heild á vefsíðunni http://www.nyfaglighed.emu.dk/ og er jafnan nefnd KOM-skýrslan. Síðan skýrslan var gefin út hafa verið teknar saman samsvarandi skýrslur um nám í dönsku, erlendum tungumálum og náttúrufræðigreinum.

Starfshópurinn komst að því að margt væri í góðu lagi varðandi stærðfræðikennslu í Danmörku en ýmislegt mætti þó betur fara. Sem svar við spurningunni um að hve miklu leyti þurfi að endurnýja núverandi stærðfræðikennslu skilgreindi starfshópurinn m.a. eftirfarandi vanda:

  • Margir nemendur, sem þyrftu að kunna stærðfræði síðar, velja sig frá henni.

  • Margir sjá ekki tilganginn með námi í stærðfræði og kunna ekki að meta gildi hennar.

  • Sumum finnst stærðfræðin of krefjandi miðað við afrakstur.

  • Stefnan Stærðfræði fyrir alla er túlkuð sem sama stærðfræði fyrir alla.

  • Stærðfræðikennara í grunnskólum þyrfti að mennta betur í stærðfræði og kennslufræði stærðfræðinnar.

  • Stærðfræðikennara í framhaldsskólum þyrfti að mennta betur í uppeldisfræði og kennslufræði stærðfræðinnar.

  • Skortur er á samfellu og samhengi milli skólastiga.

  • Skipting nemenda í hópa eftir getu getur valdið vanda í sjálfu sér.

  • Námsmatið dregur ekki fram þá færni sem æskilegt væri að leggja áherslu á í stærðfræðimenntuninni.

Allt eru þetta velþekkt fyrirbæri, hér á landi sem í Danmörku og annars staðar. Viðbrögð danska starfshópsins voru að taka saman yfirlit yfir þá hæfni sem æskilegt væri að rækta í stærðfræðinámi og hjá stærðfræðikennurum auk þess sem hann vakti athygli á því að brýnt væri að endurskoða aðferðir við námsmat í stærðfræði.

Dagana 24. og 25. október 2003 var haldið málþing um stærðfræðimenntun í nútíð og framtíð í Kennaraháskóla Íslands á vegum skólans og menntamálaráðuneytisins. Fenginn var góður gestur, Mogens Niss, prófessor við Háskólann í Hróarskeldu, en hann var formaður starfshópsins um KOM-skýrsluna. Hér á eftir fara atriði úr máli hans og skýrslunni ásamt hugleiðingum út frá þeim.

Kennaramenntun og hæfni stærðfræðikennara

Margt er líkt með menntun á Íslandi og í Danmörku, ekki síst kennaramenntuninni, enda má rekja rætur íslenskrar kennaramenntunar til Danmerkur. Menntun stærðfræðikennara í íslensku sem og dönsku skólakerfi er með ólíkum hætti eftir skólastigum. Menntun grunnskólakennara er starfsmenntun þar sem megináhersla er lögð á uppeldishlið starfsins en hinum mörgu ólíku námsgreinum, s.s. stærðfræði, eru gerð nokkur skil. Annar háttur er á menntun framhaldsskóla- og háskólakennara. Hún er fagmenntun þar sem megináhersla er á námsgreinina sjálfa, stærðfræðina, en minni áhersla á hina uppeldislegu og kennslufræðilegu þætti námsgreinarinnar. Í skýrslunni er mælt með því að menntun þessara tveggja stétta kennara færist saman og verði með líkara lagi, grunnskólakennarar fái meiri fagmenntun í stærðfræði en framhaldsskóla- og háskólakennarar fái meiri kynni af kennslufræði greinarinnar.

Hæfni stærðfræðikennara

Í KOM-skýrslunni er skilgreind æskileg hæfni stærðfræðikennara á sviðum kennslu- og uppeldisfræði á öllum skólastigum. Auk hæfni til að vinna eftir námskrá og geta skipulagt kennslu í samræmi við námskrá og önnur fyrirmæli með þeim gögnum og tækjum sem best eiga við hverju sinni er talin eftirfarandi hæfni:

Hæfni stærðfræðikennara

Kennari þarf að geta afhjúpað og túlkað hvernig nám hvers nemanda fer fram og hvaða hæfni nemandinn hefur tileinkað sér, þar með talið að geta greint framfarir hans. Til hæfninnar telst að geta skyggnst undir yfirborð þess hvernig stærðfræðinám, skilningur og tök birtast hjá hverjum einstökum nemanda við ýmsar athafnir; verða fær um að skilja og túlka þekkingarlegan bakgrunn þeirra.

Hæfni til að meta árangur náms

Samskonar kröfur eru gerðar um mat á þeim ávinningi og hæfni sem nemandinn hefur öðlast. Kennarinn þarf að hafa margvíslega tækni á takteinum og geta beitt henni á gagnrýninn hátt til að geta afhjúpað og metið námslegt gagn og færni sem nemandinn hefur áunnið sér, bæði á meðan á náminu stendur og við lok þess.

Hæfni til að vinna með öðrum

Kennari þarf að geta unnið með öðrum stærðfræðikennurum og kennurum í öðrum greinum að málum sem stuðla að bættri stærðfræðikennslu. Þá er átt við að framangreind hæfnisvið séu dregin inn í margvíslegri samvinnu og einnig í samskiptum við aðra utan kennslunnar, s.s. foreldra, skipuleggjendur og yfirmenn.

Hæfni til að auka færni sína

Það er hlutskipti kennara að eiga sífellt að vera að bæta við sig og auka faglega, kennslufræðilega og uppeldislega hæfni sína án tillits til ólíkra aðstæðna og tækifæra. Kennari þarf að geta endurmetið kennslu sína og rætt hana við starfsfélaga, geta skilgreint þarfir sínar fyrir að bæta sig og bæta við sig, og meta hvar þeim verði best mætt, hvort sem er á námskeiðum, ráðstefnum, málþingum, með leshópum eða þátttöku í rannsóknarverkefnum. Málið snýst einnig um að fylgjast með nýjum hræringum, kennsluefni og lesefni á sínu sviði, að geta notfært sér rannsóknarniðurstöður og e.t.v að skrifa sjálf(ur) greinar eða bækur um fagleg, kennslufræðileg eða uppeldisleg málefni.

Hæfni í faglegum þáttum kennslunnar

Í skýrslunni er einnig fjallað um hæfni stærðfræðikennara í hinum faglegu þáttum kennslunnar. Gera þarf ráð fyrir að kennarar hafi nauðsynlega hæfni til stærðfræðilegrar hugsunar, þrautalausna, líkanagerðar, röksemdafærslu, fjölbreytni í framsetningu, meðferðar táknmáls, samskipta og hjálpartækja en á öllum sviðum er gert ráð fyrir að kennarar búi yfir hæfniauka miðað við það skólastig sem þeir kenna á og séu þannig í stakk búnir til að vinna að þróun og nýsköpun í stærðfræðikennslu.

Í umfjöllun um hæfni á sviði stærðfræðilegrar hugsunar segir í skýrslunni að kennarar á öllum stigum þurfi að hafa grundvallarinnsýn í hvers konar spurningar og svör eigi við í stærðfræðikennslu að viðkomandi stigi. Ennfremur sé mikilvægt að geta laðað fram slíka hæfni hjá nemendum sínum og hafa tilfinningu fyrir hvers konar svara megi vænta af nemendum á viðkomandi stigi. Þessar kröfur og aðrar viðlíka, sem gerðar eru til kennara, árétta að undirstöðuþekking kennara í hinum ólíku þáttum námsgreinarinnar þarf að vera traust.

Ráð til úrbóta

Í dönsku skýrslunni um hæfni og stærðfræðinám eru nokkrar tillögur til yfirvalda til úrbóta. M.a. er mælt með því að yfirvöld kennaramenntunar

  • taki menntun stærðfræðikennara í grunnskólum til endurskoðunar í þeim tilgangi að nægilegur fjöldi kennara hafi alla nauðsynlega hæfni til að bera. Endurskoðunin ætti að tryggja að verðandi kennaranemar hafi a.m.k. numið stærðfræði náttúrufræðibrautar (B-niveau) í framhaldsskóla,

  • tryggi að verðandi stærðfræðikennarar í grunnskóla séu búnir undir að sinna kennslu sem miðar að því að nemendur þeirra öðlist fjölbreytta stærðfræðilega hæfni,

  • stuðli að því að kennurum í stærðfræði verði séð fyrir stuðningi við faglega, kennslufræðilega og uppeldislega hæfni þeirra,

  • stuðli að eftirliti með matsaðferðum og matstækni við reglulegt símat til að fylgjast með hvort aðferðirnar og tæknin nái að meta hina margvíslegu hæfni á viðunandi hátt og lagi sig að því markmiði að hæfni nemendanna njóti sín sem best,

  • stuðli að endurskoðun og endurbótum á opinberum prófformum og próftækni þannig að öll stærðfræðileg hæfni komi í ljós með áreiðanlegum hætti,

  • vinni að því að þeir nemendur, sem stunda nám við almenna háskóla og stefna að kennslu á framhalds- og háskólastigi, verði búnir undir hæfnimiðaða stærðfræðikennslu á viðkomandi skólastigi.

Námsmat í stærðfræði

Athygli þeirra sem fást við rannsóknir á stærðfræðimenntun hefur beinst að námsmati í auknum mæli á síðasta áratug. Ljóst er að stórt bil er á milli þróunar sem hefur átt sér stað í stærðfræðimenntun og hefðbundinna aðferða og tækni við námsmat.

Margt getur leitt til þess að rangar ályktanir séu dregnar af hefðbundnum prófum. Tímatakmörk og aðrar aðstæður, samhengislaus verkefni, framandleg framsetning, mistök í túlkun svara og fleiri atriði geta valdið misvísandi eða jafnvel röngum ályktunum. Mikilvægir þættir sem varða stærðfræðiskilning, innsæi og fleiri atriði sem snerta bæði innihald og vinnubrögð, eru ekki metnir.

Vandinn við námsmat í stærðfræði

Vandinn er sá að hinir ýmsu þættir stærðfræðináms fá mismunandi vægi í hefðbundu námsmati. Það sem venjulega er metið eru staðreyndir, staðlaðar aðferðir og venjubundin og áður æfð hagnýting. Sjaldnar eru metin samsett verkefni, skilningur og notkun hugtaka við óvenjulegar aðstæður, innsæi, þjálfun í að giska á reglur með vitrænum hætti, röksemdafærsla, þekking á sönnunum, hæfileiki til að greina, setja fram og leysa þrautir og til að vinna við opin verkefni sem nemandanum er ætlað að klæða í stærðfræðilegan búning. Enn sjaldnar eru metnar uppgötvanir, athuganir, tilgátur, þekking og skilningur á eðli, uppbyggingu og eiginleikum stærðfræðinnar sem fræðigreinar og viðhorf eru sjaldnast metin.

Í venjubundnu námsmati, þ.e. í prófum, er megináhersla lögð á lokuð, stutt, skrifleg verkefni, leyst samkvæmt fyrirmælum, s.s. krossaspurningar, stuttar afmarkaðar æfingar og einfaldar þrautir. Athygli er beint að ytri hegðun. Aðferðin brýtur stærðfræðivinnu niður í smæstu einingar og dregur úr faglegum metnaði, lögð er áhersla á það sem meta má annað hvort rétt eða rangt, hraða og skýrleika, en minni áhersla er á útskýringar, röksemdafærslu, frumleika og dýpt í hugsun.

Hvað er til ráða?

Meta þarf hæfni í stærðfræði á áreiðanlegan hátt og í samræmi við markmið og leiðir í stærðfræðinámi og -kennslu. Námsmatið ætti að ná yfir alla þá stærðfræði sem hver nemendi þarf að læra og geta gert, stuðla að auknu stærðfræðinámi, þ.e. vera námsferli í sjálfu sér, stuðla að jafnræði, vera opið ferli, stuðla að réttum ályktunum þeirra sem námsmatið er ætlað og vera í samhengi við stærðfræðinám nemandans.

Stærðfræðihæfni nemenda birtist í stærðfræðivinnu. Þá er átt við virkni í raunverulegri vinnu, s.s. að setja fram og skilgreina þraut, leysa hreina eða hagnýta stærðfræðiþraut, skilja og setja upp stærðfræðilegt líkan, lesa texta um stærðfræði til að ná fram merkingu hans, sanna reglu, rannsaka samhengi í stærðfræðilegum textum og sönnunum, skrifa texta um stærðfræðilegt efni og halda fyrirlestra um stærðfræðilegt efni, allt eftir aldri og þroska nemandans. Hvers konar stærðfræðileg vinna krefst margvíslegrar stærðfræðihæfni en mismunandi vinna krefst mismunandi hæfni.

Ljóst er að rannsókna er þörf til að skilgreina og hanna stærðfræðileg viðfangsefni til að skynja, draga fram einkenni og meta að hve miklu leyti hver einstaklingur býr yfir hverri hæfni, meta heildarhæfni hvers einstaklings og meta framfarir hvers einstaklings í hverri tegund hæfni.

Algeng form og tækni sem nota má til námsmats í stærðfræði eru skrifleg próf, stutt könnunarpróf, munnleg próf, eftirlit með nemendum við vinnu, dagbækur nemenda, vinna við og niðurstöður úr viðameiri verkefnum, mappa með völdum verkefnum, veggspjöld, ritgerðir og fyrirlestrar. Sumar þessara leiða eru eingöngu notaðar til námsmats, sumar til mats, náms og kennslu í bland en sumar einungis til náms og kennslu.

Meðal þess sem bæta mætti við til námsmats í stærðfræði eru skrifleg verkefni sem unnin eru í skóla eða heima á lengri tíma en tíðkast í venjulegum prófum og fylgt er eftir með munnlegri vörn, skrifleg verkefni sem leyst eru eftir að tími er gefinn til undirbúnings, heimapróf, verkefni sem nemendur búa til, leiðréttingar og mat nemenda á verkefnum annarra og ýmsar tegundir ritgerða.

Hindranir þarf að yfirstíga

Ekkert eitt prófform getur metið allar myndir stærðfræðilegrar hæfni. Fullnægjandi matsform og -tæki krefjast tíma og krafta. Ýmsar ytri hindranir, s.s. hefðir, jafnvel stjórnmálalegar ástæður, kostnaður og breyting á skipulagi, og innri hindanir, s.s. íhaldssemi, skortur á þekkingu á nýjum leiðum, óöryggi og skortur á leiðsögn, ótti við viðbrögð utan frá og fyrirhöfn og kostnaður valda því að þróun í námsmati er hæg og ekki í takt við þróun í kennslu. En námsmat í stærðfræði er alltof mikilvægt fyrir þróun stærðfræðikennslu og námsskilyrði einstakra nemenda til þess að því verði haldið í fornu fari og ekki tekið til endurskoðunar. Í þessu mikilvæga máli hafa allir sem vinna innan stærðfræðimenntunar miklu hlutverki að gegna.

Stærðfræðileg hæfni

Megininntak KOM-skýrslunnar eru skilgreiningar og útlistanir á 8 flokkum hæfni sem saman mynda hæfni til stærðfræðináms en hæfni má skilgreina sem getu til að takast á við viðfangsefni á markvissan og viðurkenndan hátt. Höfundar skýrslunnar telja að stærðfræðileg hæfni byggi á færni í átta stærðfræðilegum hæfnisflokkum:

1. Hæfni til stærðfræðilegrar hugsunar.

2. Hæfni til að leita lausna.

3. Hæfni til að setja fram stærðfræðileg líkön.

4. Hæfni til stærðfræðilegrar röksemdafærslu.

5. Hæfni til að geta sett stærðfræðileg viðfangsefni fram á fjölbreyttan hátt.

6. Hæfni til að fara með táknmál stærðfræðinnar og setja hana fram á formlegan hátt.

7. Hæfni til samskipta – að geta tjáð sig um og með stærðfræði.

8. Hæfni til að nýta hjálpartæki til stærðfræðilegra verka, þ.m.t. tölvutækni.

Hæfnisflokkunum átta er skipt í tvo hópa. Annars vegar að geta spurt og svarað með stærðfræði og hins vegar að kunna að fara með tungumál og verkfæri stærðfræðinnar. Hvor hópur um sig inniheldur fjóra flokka. Áhersla er lögð á að flokkarnir tengjast allir þó kjarni hvers og eins sé afmarkaður og að um hæfnisþætti er byggja á námi er að ræða en ekki sálfræðilega þætti er vísa til innri eiginleika.

Hæfniflokkarnir átta

Hæfniflokkum má lýsa myndrænt:

 

 

Hæfnisflokkarnir átta í KOM-skýrslunni.

Myndin er sótt í KOM-skýrsluna á slóðina http://www.nyfaglighed.emu.dk/kom.
Arnold Skimminge teiknaði. Rannveig Halldórsdóttir íslenskaði.

Hér á eftir fer ágrip af lýsingu á hæfniflokkunum en í skýrslunni eru hæfnisviðin útfærð fyrir öll skólastig og mismunandi nám á framhalds- og háskólastigi:

I. Að geta spurt og svarað með stærðfræði

Hæfni til stærðfræðilegrar hugsunar er eiginleiki sem sóst er eftir til margvíslegra starfa, jafnvel þeirra sem fela ekki í sér beina beitingu stærðfræði. Hún felst m.a. í að kunna að bera fram spurningar sem leiða til árangurs í viðureign við stærðfræðileg viðfangsefni, geta svarað slíkum spurningum, þekkja, skilja og beita (mis)yfirgripsmiklum stærðfræðilegum hugtökum og skilja tilgang og takmörk þeirra, geta dregið ályktanir af hugtökum og alhæft út frá þeim og geta greint á milli skilgreininga, t.d. á heitum hugtaka sem unnið er með, og almennra reglna sem leiddar hafa verið fram við vinnu með stærðfræðileg viðfangsefni.

Hæfni til að leita lausna á stærðfræðilegri þraut er einnig eftirsóknarverður eiginleiki sem má rækta í stærðfræðinámi. Að leysa stærðfræðiþraut felur í sér sjálfstæða leit að lausn af hálfu nemandans. Hæfnin er fólgin í að geta sett fram slíkt viðfangsefni á stærðfræðilegu formi og geta leyst þau, jafnvel á marga vegu. Hér er oft um að ræða að vinna stærðfræðilegar upplýsingar úr texta, setja upp orðadæmi, og rökstyðja lausn þeirra.

Hæfni til að setja fram stærðfræðileg líkön, þ.e. að geta tekist á við áður óþekkt verkefni úr umhverfinu eða samfélaginu þar sem þarf að afla upplýsinga og meta þær og færa þær síðan í stærðfræðilegan búning til að geta unnið úr þeim. Dæmi um það gæti verið að finna hve margar vindmyllur þyrfti til þess að koma í stað Kárahnjúkavirkjunar, finna hve mikið sparast í blaðsíðum ef letur á bók er minnkað úr 12 punktum í 11 punkta eða skipuleggja bókunarkerfi heilsugæslustöðvar þannig að bið sjúklinga sé í lágmarki án þess að læknar sitji aðgerðarlausir.

Hæfni til stærðfræðilegrar röksemdafærslu, þ.e. að skilja og meta röksemdir sem settar eru fram af öðrum, vita hvað stærðfræðileg sönnun er og hver munurinn er á henni og annarri stærðfræðilegri röksemdafærslu t.d. innsæi, geta greint hugmyndir í röksemdafærslu, greint aðalatriði frá smáatriðum og megin hugmyndir frá tæknilegum útfærslum, geta sett fram formleg og óformleg stærðfræðileg rök og breytti rökum í réttmæta sönnun, allt eftir aldri og þroska.

II. Að kunna að fara með tungumál og verkfæri stærðfræðinnar

Hæfni til að setja stærðfræðileg viðfangsefni fram á fjölbreytilega vegu, þ.e. að skilja og geta notað tengsl mismunandi framsetningar sama fyrirbæris hvort sem um er að ræða hlutbundna, myndræna, munnlega eða algebrulega framsetningu eða með töflum og/eða grafi. Í því felst að átta sig á styrkleika og veikleika hverrar framsetningar og skilja og geta valið á milli mismunandi framsetningar eftir því sem við á hverju sinni.

Hæfni til að fara með táknmál stærðfræðinnar og setja hana fram á formlegan hátt. Þá er átt við að geta lesið merkingu úr táknmáli stærðfræðinnar, notað það á merkingarbæran hátt, t.d. geta þýtt af daglegu máli yfir á táknmál og skilja þær leikreglur sem gilda um meðferð þess. Hér er t.d. átt við að vita að 5•(3+4) er ekki sama og 5•3+4, vita að 4<7 er lesið 4 er minna en 7eða að (a+b)(a–b)=a2–b2.

Hæfni til samskipta – að geta tjáð sig um og með stærðfræði, er annars vegar fólgin í að geta skilið og túlkað skriflega, munnlega eða sjónræna framsetningu annarra á stærðfræðilegu efni, t.d. stærðfræðilegum texta, og hins vegar að geta tjáð sig með ólíkum hætti, munnlega, skriflega, myndrænt, o.s.frv., og á mismunandi fræðilegu og tæknilegu stigi um stærðfræðileg efni. Þá er t.d. átt við að geta útskýrt verkefni á mismunandi vegu eftir því hvort er talað við yngra barn eða jafningja.

Hæfni til að nýta hjálpartæki til stærðfræðilegra verka, er fólgin í að þekkja til ólíkra verkfæra, tilveru þeirra og eiginleika. Þá er ekki aðeins átt við að geta notað tæki eins og t.d. reiknivélar og tölvuforrit, heldur einnig áhöld eins og talnagrindur, hringfara, gráðuboga os.frv., og gera sér jafnframt grein fyrir möguleikum þeirra og takmörkunum.

Tengsl hæfnisviðanna innbyrðis og við aðra þætti

Innbyrðis tengsl ólíkrar hæfni

Fram hefur komið að margvísleg tengsl eru á milli hæfnisviðanna innan hvors flokks fyrir sig. Samt sem áður er áherslan á mismunandi þáttum. Í flokknum um að kunna að fara með tungumál og verkfæri stærðfræðinnar er áherslan í hæfni til framsetningar á sjálfa framsetninguna og val hennar en í hæfni til að fara með táknmál er áherslan á leikreglurnar. Í hæfni til samskipta er áherslan á samskiptin um og með stærðfræði. Sama er að segja um fyrri flokkinn, að geta spurt og svarað með stærðfræði. Í hæfninni til að hugsa stærðfræðilega er þunginn á þeim spurningum sem stærðfræðin fæst við, en í hæfni til þrautalausna er þunginn á því hvernig tekist er á við að svara spurningunum. Hæfnin til röksemdafærslu fæst við að réttlæta fullyrðingar, t.d. um hvort tiltekin aðferð veiti rétt svar við spurningu.

Allir hæfniflokkarnir hafa tvenns konar eðli, rannsakandi þátt og framkvæmdaþátt. Rannsakandi þátturinn er fólginn í að skilja, greina og meta á gagnrýninn hátt á meðan framkvæmdaþátturinn er fólginn í að framkvæma þær aðgerðir sem hæfnin nær yfir.

Hæfni, innsæi og skapandi starf

Innsæi og skapandi starf eru þættir sem koma fram þvert á hæfniflokkana. T.d. má finna innsæi í hæfni til stærðfræðilegrar hugsunar, röksemdafærslu, lausnaleitar og framsetningar. Skapandi starf kemur fram í framkvæmdaþáttum allra hæfniflokkanna, t.d. við að setja fram góðar stærðfræðilegar spurningar og móta í framhaldi af því þrautir sem leita þarf lausna á, val á heppilegri framsetningu, meðferð táknmáls og hugsanlega val á hjálpartækjum ásamt því að finna til rétta og fullkomna röksemdafærslu fyrir því að lausnin sé nothæf og setja hana síðan fram á skýran og sannfærandi hátt fyrir þann markhóp sem hún er ætluð.

Umfang hæfninnar

Umfang hæfni á tilteknu sviði má skoða í mismunandi víddum. Umfangið fer eftir tæknistigi (teknisk niveau), þ.e. hversu langt viðkomandi er kominn í fræðunum, en einnig eftir virknivídd (aktionsradius), þ.e. því við hve margvíslegar aðstæður viðkomandi getur beitt hæfninni og þekjumáli (dækningsgrad), þ.e. marga þætti hvers hæfnisviðs viðkomandi hefur á valdi sínu. Þótt meta megi hæfni með þessi sjónarmið í huga er samt ekki þar með sagt að þar sé kominn tölulegur mælikvarði á stærðfræðilega hæfni.

Stærðfræðin sem kennslugrein

Öll hæfnisviðin hafa framkvæmdaþátt til að fást við mismunandi aðstæður þar sem stærðfræði kemur upp, en auk þess benda skýrsluhöfundar á þrennt í viðbót sem varðar þróun sýnar og mat nemenda á stærðfræði sem námsgreinar. Er þar átt við hagnýtingu stærðfræði í öðrum námsgreinum eða aðstæðum þeim tengdum, bæði náttúrugreinum og félagsgreinum, sögulega þróun stærðfræði í tíma og rúmi, menningu og samfélagi, og eðli stærðfræði sem fræðigreinar. Þessir þættir varða tengsl stærðfræðinnar við aðstæður í náttúru, samfélagi og menningu. Þeir tengjast hæfnisviðunum en verða samt ekki dregnir af þeim. Á sama hátt og hæfnisviðin spanna þau öll skólastig og birtast þar með mismunandi hætti.

Hæfni notuð til að lýsa stærðfræðilegri fagmennsku

Hvert hæfnisvið má skoða sem óendanlegt þrívítt safn af atriðum til að ná tökum á. Að ná tökum á stærðfræðilegri hæfni er ekki spurning um hvorki – né. Hæfnisvið eru hins vegar gott tæki við samningu námskrár þótt þau séu ekki eina tækið og enn fremur má nota þau til að lýsa og greina hvað fram fer í raunverulegri kennslu, bæði varðandi tengsl við námskrá, greiningu á daglegri kennslu og við greiningu á því hvað hver einstakur nemandi hefur tileinkað sér í kennslunni. Þá má nota hæfnisviðin sem grundvöll að faglegri umræðu kennara við samstarfsmenn.

Hæfnisviðin eru hins vegar ekki eini þátturinn í stærðfræðikennslu. Val á námsefni fer til dæmis ekki eingöngu eftir eftir því hvernig hæfnisviðin eru þar dregin fram. Sama er að segja um námsmatstækni. Ekki er hægt að draga ályktanir um hana af hæfnisviðunum. Samt sem áður er mikilvægt að námsefni og matsform séu valin með hliðsjón af hæfnisviðunum.

Hæfni og námsmat

Kröfur um hæfni nemanda á mismunandi sviðum eru að sjálfsögðu mismunandi eftir aldri og þroska þeirra. Ennfremur fléttast hæfnisviðin vissulega saman á ýmsa vegu í stærðfræðilegum verkefnum og stundum er erfitt að greina á milli þeirra. Vandinn er hins vegar að aðeins hluti þeirra er æfður til prófs og síðan vonast til að hinir þættirnir fylgi með eins og í kaupbæti. Próf miðast gjarnað við að nemandinn sýni leikni í meðferð táknmáls og aðferðum sem hann hefur lært. Minna fer fyrir röksemdafærslu, hæfni til þrautalausna er aðeins lítillega prófuð og er oft talin vera til þess fallin að leggja gildru fyrir nemendur. Til að prófa gerð líkana eða samskiptahæfni gefst ekkert svigrúm í skriflegu prófi eða jafnvel krossaprófi með stuttum próftíma.

Oft magnast upp spenna fyrir próf og þau verða jafnvel að eins konar gettu betur samkeppni þar sem takmarkið er að skila sem flestum minnisatriðum á sem stystum tíma. Af ýmsum ástæðum, t.d. fjárhagsástæðum og e.t.v. mannúðarástæðum, verður próftími æ styttri. Ef draga á fram þá þætti, sem útundan verða við slíkar aðstæður, þarf námsmat að breytast til muna. Hæfni til að setja fram stærðfræðileg líkön er ekki hægt að prófa á stuttum próftíma en hún segir þó e.t.v. mest um það hvernig nemendum muni nýtast námið þegar lífið utan skólans tekur við og fólk þarf að takast á við ný verkefni. Lífið leggur yfirleitt ekki fyrir uppsett dæmi. Hæfilegan tíma þarf til að átta sig á verkefninu og afla upplýsinga og finna síðan heppilega stærðfræðilega framsetningu. Finna þarf leið til að mat á vinnu við slík verkefni komi fram í heildarnámsmati. Eitt brýnasta verkefnið í stærðfræðimenntun er að hanna og innleiða tækni sem henta til að mæla hæfnisviðin.

Tillögur um endurnýjun stærðfræðikennslu

Í KOM-skýrslunni er mælt með því að yfirvöld, kennarar og samtök þeirra

  • vinni að því að koma á tilraunakennslu með það að markmiði að koma á hæfnimiðaðri stærðfræðikennslu,

  • fylgist með og stuðli að þróun mats- og prófforma og tækni þar að lútandi til að framkvæma reglulegt símat innan skólanna í því augnamiði að komast að því hve vel þessir þættir meta hina ólíku hæfni með afhjúpandi og áreiðanlegum hætti og aðlaga þá og betrumbæta til þess að þeir gegni hlutverki sínu sem best,

  • stuðli að og taki þátt í margvíslegri símenntun kennara í þeim tilgangi að vinna að því að koma á hæfnimiðaðri stærðfræðikennslu,

  • stofni til samvinnu við fólk sem fæst við rannsóknir í stærðfræðimenntun um að koma á fót rannsóknarverkefnum á því sviði til að lýsa og greina verkefni sem sett eru á laggirnar til að koma á hæfnimiðaðri stærðfræðikennslu,

  • komi á föstum samstarfsvettvangi fyrir stærðfræðikennara, annars vegar á barna- og unglingastigi og hins vegar á framhalds- og háskólastigi, í þeim tilgangi að koma af stað og viðhalda umræðu og rannsóknarverkefnum um flutning nemenda á milli skólastiga.

Þá er þeim tilmælum beint til kennslubókahöfunda og útgáfufyrirtækja að þróa og útbúa kennsluefni sem hentar til hæfnimiðaðrar stærðfræðikennslu.

Hæfni og stærðfræðinám á Íslandi

Sumu af því sem talið er hér að framan hafa þegar verið sköpuð skilyrði til eða hrint í framkvæmd hér á landi. Má þar t.d. nefna Flöt, samtök stærðfræðikennara, sem ná yfir öll skólastig, allt frá yngstu stigum grunnskóla til háskóla og er dýrmætur vettvangur umræðu um málefni stærðfræðimenntunar. Ekki er á færi neins eins aðila að breyta viðhorfum til og endurbæta aðferðir við stærðfræðinám og -kennslu. Þar þarf að koma til almenn umræða og víðtæk sátt um að hverju beri að stefna í stærðfræðimenntun. Þá er ekki nóg að stefna að bættum árangri á samræmdu prófi sem ef til vill prófar aðeins takmarkaða hæfni. Brýnast er að skapa sátt um það hvers konar stærðfræðikennsla dregur fram og eflir þá hæfni sem býr nemendur sem best undir lífið í sinni fjölbreyttustu mynd.

Framangreind hæfnisvið hafa verið til umræðu meðal þeirra sem vinna að stærðifræðimenntun og þau má greina í aðalnámskrá sem útgefin er 1999, nokkru áður en KOM-skýrslan er gefin út. Þar er m.a. lögð aukin áhersla á samræður, röksemdafærslu og lausnir verkefna og þrauta. Þessi stefna endurspeglast í nýjum kennslubókum. Eldri kennslubækur voru fyrst gefnar út fyrir um það bil 30 árum og höfðu því runnið sitt skeið. Vissulega þurfa kennarar og foreldrar tíma til að átta sig á nýjum kennslubókum með nýrri nálgun. Á þeim tíma sem liðinn er frá útgáfu eldri bóka hefur sú breyting orðin á að reiknivélar eru í allra höndum og þörfin fyrir handreikning með flóknum tölum heyrir að mestu sögunni til. Mikil áhersla er nú lögð á að nemendur skilji uppbyggingu talnakerfisins og rithátt stórra talna sem smárra og ennfremur að nemendur skilji grundvallarreikniaðgerðir og þroski með sér aðferðir til að vinna með þær.

Sé litið til þess hvernig flest fólk notar stærðfræði í daglegu lífi er ljóst að þörfin er mest fyrir hugareikning til að geta lagt mat með skjótum hætti á líklegar útkomur daglegra reikninga. Þá er, svo að dæmi sé tekið, fullt vald á margföldunartöflu afar gagnlegt enda er það sett fram sem markmið fyrir nemendur eigi síðar en við lok 7. bekkjar grunnskóla. Að sjálfsögðu er unnið að því markmiði öll árin fram að því, en þó sér í lagi í 4.–7. bekk.

Þáttur foreldra í stærðfræðinámi barna

Foreldrar og aðrir uppalendur geta með ýmsum hætti stutt við stærðfræðinám barna sinna, t.d. með umræðu í daglegum innkaupum eða verkefnum fjölskyldunnar og með margvíslegri dægrastyttingu, s.s. teningaspilum og öðrum spilum. Tölur og form á förnum vegi bjóða upp á fjölbreyttar bollaleggingar um stærð, röðun og lögun og viðeigandi röksemdafærslu. Slíkar umræður fara að sjálfsögðu fram í kennslustofunni en það styrkir stærðfræðivitund barnanna að finna að foreldrar þeirra hafa einnig áhuga á slíkum hlutum. Börnum er mikill styrkur að því að skynja að stærðfræðileg umræða er ekki einungis bundin við sérstakar kennslustundir í skólanum heldur er hluti af umræðu og menntandi dægrastyttingu daglegs lífs.

Heimildir

Kompetancer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18 2002. Undervisningsministeriet. Kaupmannahöfn 2002. Sjá einnig http://www.nyfaglighed.emu.dk/kom.

Aðalnámskrá grunnskóla, stærðfræði. 1999. Menntamálaráðuneytið.

Mogens Niss: Mathematical Competencies and the Learning of Mathematics the Danish KOM project. Fyrirlestur haldinn í Kennaraháskóla Íslands 25. október 2003.

Mogens Niss: Issues and Trends in Assessment in Mathematics Education. Fyrirlestur haldinn í Kennaraháskóla Íslands 25. október 2003.