Netla – Veftímarit um uppeldi og menntun

Rannsóknarstofnun Kennaraháskóla Íslands

Grein birt 15. mars 2003

M. Allyson Macdonald

Språk och symboler

Um námskröfur í stærðfræði á Íslandi,
í Danmörku og Svíþjóð

Í greininni eru bornar saman námskröfur í stærðfræði í grunnskóla og framhaldsskóla í þremur löndum. Litið er áherslur í greininni og þann tíma sem varið er til hennar á Íslandi, í Danmörku og Svíþjóð. Úttektin er liður í verkefninu Samanburður á skólakerfum sem Félagsstofnun Háskóla Íslands og Rannsóknarstofnun Kennaraháskóla Íslands annast fyrir menntamálaráðuneytið í tengslum við vinnuhóp um styttingu námstíma til stúdentsprófs. Greinin byggir á erindi sem haldið var á degi stærðfræðinnar 27. september 2002 að ósk Flatar. Höfundur er prófessor og forstöðumaður Rannsóknarstofnunar Kennaraháskóla Íslands.

Stærðfræði – Hvers vegna?

Meginmarkmiðin í stærðfræðinámi í framhaldsskólum á Íslandi, í Danmörku og í SvÍþjóð virðast vera mjög lík. Á Íslandi:[1]

Stefnumið


Með kennslu í stærðfræði í skólum er stefnt að því að nemendur

  • öðlist næga kunnáttu til að takast á við stærðfræðileg verkefni sem upp koma í daglegu lífi og geti notað stærðfræði við margs konar störf í þjóðfélaginu

  • öðlist nægilega kunnáttu til að þeir geti stundað framhaldsnám í ýmsum greinum

  • kynnist stærðfræði sem hluta af menningararfi og almennri menntun

 

Í Danmörku:[2]

 

Matematisk linje 3 – Årigt forløb til A-niveau


Undervisningsmål

1. Målet med undervisningen er,

a) at eleverne erhverver indsigt i en række fundamentale matematiske tankegange, begreber og metoder

b) at eleverne opnår fortrolighed med matematik som et middel til at formulere, analysere og løse problemer inden for forskellige fagområder

c) at eleverne videreudvikler deres evne til selvstændigt at benytte matematiske begreber og metoder og bliver i stand til at sætte sig ind i, analysere og vurdere problemkredse, der kan formuleres og bearbejdes ved hjælp af matematiske begreber og metoder.

 

Í Svíþjóð:[3]

Ämnets syfte


Gymnasieskolans utbildning i matematik bygger vidare på kunskaper motsvarande de eleverna uppnår i grundskolan och innebär breddning och fördjupning av ämnet. Utbildningen syftar till att ge kunskaper i matematik för studier inom vald studieinriktning och för fortsatta studier. Utbildningen skall leda till förmåga att kommunicera med matematikens språk och symboler, som är likartade över hela världen. Utbildningen i matematik i gymnasieskolan syftar också till att eleverna skall kunna analysera, kritiskt bedöma och lösa problem för att självständigt kunna ta ställning i frågor, som är viktiga både för dem själva och samhället, som t.ex. etiska frågor och miljöfrågor. Utbildningen syftar även till att eleverna skall uppleva glädjen i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem samt få erfara något av matematikens skönhet och logik.

 

En hvað liggur á bak við ofangreind markmið? Hvaða hugmyndafræði eru markmiðin í forsvari fyrir? Hvaða kröfur eru gerðar til nemenda og til kennara?

Tilgangur þessarar skýrslu er að segja örlítið frá námi í stærðfræði eins og það kemur fyrir sjónir í opinberum gögnum á Íslandi, í Danmörku og í Svíþjóð. Reynt hefur verið að greina opinberar lýsingar til að komast nær þeim námskröfum sem stefnt er að. Ég mun fjalla um tvennt:

  1. Áhersluatriði í kennslu og námi, og þá sérstaklega um námsmarkmið, námsmat og hlutverk nemenda. Dregnar verða fram mismunandi áherslur.

  2. Tíma sem varið er til stærðfræðikennslu í grunn- og framhaldsskólum í löndunum þremur. Ekki er ólíklegt að sá tími sem stærðfræði er skammtaður í námi gæti verið vísbending um mikilvægi greinarinnar.

Nálgun, gögn og greining

Athugunin sem hér verður sagt frá var hluti af verkefninu SÁS (Samanburðarkönnun á skólakerfum) sem var unnin fyrir menntamálaráðuneytið vorið og sumarið 2002.[4] Félagsvísindastofnun Háskóla Íslands og Rannsóknarstofnun Kennaraháskóla Íslands gerðu samning við ráðuneytið í maí 2002 um að gera samanburðarkönnun á skipulagi og innihaldi framhaldsskólanáms til stúdentsprófs og tengdum málum milli Íslands, Danmerkur og Svíþjóðar. Könnunin var unnin að beiðni starfshóps um styttingu námstíma til stúdentsprófs.

Rannsóknarstofnun KHÍ vann sérstaklega að tveimur þáttum:

  1. Námskröfum sem gerðar eru í grunnskóla og í framhaldsskóla í móðurmáli, stærðfræði, ensku, raunvísindum og félagsvísindum.

  2. Samanburði á þeim námsgreinum sem kenndar eru í grunnskóla og í stúdentsprófsnámi og fjölda kennslustunda fyrir hverja grein.

Það kom í minn hlut að vinna sérstaklega að fyrsta þættinum almennt og að taka saman námskröfur í stærðfræði og náttúrufræði. Samstarfsfólk í verkefninu voru Þuríður Jóhannsdóttir og Michael Dal.

Lýsingar

Opinberar lýsingar á stefnu sem varða nám og skipulagsramma fyrir framkvæmd þess á Íslandi, í Danmörku og í Svíþjóð eru vægast sagt ólíkar:

  • Á Íslandi gegnir aðalnámskrá fyrir grunnskóla[5] og aðalnámskrá fyrir framhaldsskóla[6] (almennur hluti) báðum hlutverkum í senn – aðalstefnan er lögð fram og framkvæmdarammanum lýst í einu og sama hefti. Hver námsgrein fær síðan nákvæmari lýsingar í sérheftum. Aðalnámskrá grunnskóla í stærðfræði er um 136 bls. og fyrir framhaldsskóla 80 bls.

  • Í Svíþjóð er stefnunni og þeim gildum sem lögð eru til grundvallar gerð sérstök skil í svokölluðu Läroplan.[7] Nánari útfærslur á námsgreinum er að finna í einu sérhefti fyrir hvort skólastig. Til að mynda fær stærðfræði í grunnskóla 4 bls. í sérhefti og framhaldsskólinn 21 bls.

  • Okkur tókst ekki að finna á einum stað almenna umfjöllun um stefnu í skólamálum í Danmörku í líkingu við hið sænska Läroplan. En praktískar upplýsingar um kerfi, inntak, kennsluaðferðir og mat eru miklar.[8] Upplýsingar um stærðfræðinám á grunnskólastigi koma fram á 67 bls. og 43 bls. á framhaldsskólastigi.

Upplýsingar úr ýmsum alþjóðlegum samanburðarkönnunum eins og PISA og TIMSS voru kannaðir af Félagsvísindastofnun.[9] PISA-könnunin árið 2000 var gerð til að rannsaka hæfni nemenda í lestri, stærðfræði og náttúrufræði. Helstu niðurstöður um námskröfur eru þær að svo virðist sem hæfni 15 ára nemenda, skv. PISA, sé mjög sambærileg í löndunum þremur sem hér eru til skoðunar. Þannig megum við reikna með að þrátt fyrir mismunandi áherslur og mislanga skólagöngu á grunnskólastigi standi nemendur nokkurn veginn jafnfætis hvað varðar hæfni við upphaf framhaldsskóla. Í TIMSS-rannsókninni sem gerð var 1994–95 mældist námsárangur 13 ára nemenda í Svíþjóð betri en í Danmörku og á Íslandi.

Gögn

Að ósk ráðuneytisins var aðallega suðst við aðalnámskrár landanna þriggja og unnið með fyrirliggjandi gögn um menntakerfi og inntak náms sem er að finna á netinu og má helst nefna:

vef menntamálaráðuneytis
http://www.ismennt.is/vefir/namskra/namskrar.html

vef Námsmatsstofnunar á Íslandi
http://www.namsmat.is/

vef Skolverkets í Svíþjóð
http://www.skolverket.se/index.shtml

vef Námsmatsstofnunar við Umeå-universitet,
Enheten för pedagogiska mätningar
http://www.umu.se/edmeas/index.html

vef menntamálaráðuneytis Danmerkur
http://www.uvm.dk

Farið var til Danmerkur og Svíþjóðar og upplýsinga aflað í viðtölum við kennara og skólayfirvöld.[10]

Hafa ber í huga að upplýsingarnar sem lagðar eru til grundvallar við greiningu og samanburð eru opinberar námslýsingar sem birtar eru í námskrám og endurspegla vilja yfirvalda en ekki endilega raunveruleikann úti í skólunum. Greining á námsköfum sem gerðar eru í löndunum þremur byggjast fyrst og fremst á námskrám og í sumum tilvikum einnig á samræmdum prófum.

Greining á námskröfum

Greiningarkerfi

Eitt fyrsta verkefnið var að ákveða hvernig hægt væri að greina námskröfur í námsgreinum í löndunum þremur þannig að hægt væri að bera þær saman. Vitað er að námskröfur birtast á mismunandi hátt í skólastarfi – í markmiðum, í kennsluháttum, í inntaki námsins, í námsmati og ekki síst þegar skoðuð er staða nemenda í upphafi náms og að hversu miklu leyti tillit er tekið til þess í skipulagi námsins. Hefðir í skólastarfi, saga skólakerfis og lög og reglugerðir hafa allt sitt að segja um námskröfur. Stundum er það augljóst en oft er það líka dulið.

Ákveðið var að nota líkan sem ég hef verið að þróa til að komast að eða greina þær námskröfur sem gerðar eru til nemenda.[11]

Unnið er með sjö atriði eða ramma. Fjórir snúa að ákvörðunum um kennslu og skipulag náms:

  • Innihald

  • Námskrá, sérstaklega markmið

  • Kennsla-sem-athöfn

  • Námsmat

Þessir rammar eru oftast nokkuð sýnilegir í námslýsingum, þó að greining á námskrám í þessu verkefni leiddi í ljós að kennsla-sem-athöfn er mismikið rædd í aðalnámskránum þremur.

Þrír rammar snúa að nemendunum og stöðu þeirra í námi:

  • Ástand nemenda í upphafi

  • Nám-sem-athöfn

  • Nám-sem-árangur

Reynslan hefur sýnt okkur að þessir þættir eru stundum alveg ósýnilegir í námslýsingum, eins og kom reyndar í ljós í verkefninu. Oft er mest rætt um námsgreinina sjálfa en örlítið eða ekkert um nemendur sem eiga að læra viðkomandi námsgrein.

Leitast var við að greina námskrár og í sumum tilvikum einnig próf eftir römmunum sjö, fyrir hvert land og bæði í efri bekkjum grunnskóla og á framhaldsskólastigi. Enn fremur var reynt að fá fram á hvaða hugmyndum um nám og kennslu, námskrár og námskröfur eru byggðar í hverju landi áður en farið var að huga að samanburði. Kostir þessarar aðferðar eru að við fáum nokkuð skýra mynd af einkennum í hverju landi en gallinn er að lýsingarnar eru ekki alltaf fyllilega sambærilegar.

Ég mun ræða niðurstöður greiningarinnar fyrst fyrir grunnskóla og þá fyrir framhaldsskóla.

Námskröfur í stærðfræði í grunnskólum
á Íslandi, í Danmörku og í Svíþjóð

Inntak

Sömu efnisþættir koma fram í löndunum þremur – tölur, algebra, rúmfræði – auk þess er alls staðar lögð áhersla á tengsl við daglegt líf og hagnýta stærðfræði. Tíminn sem er áætlaður í stærðfræði er mestur á Íslandi (1200 t) en minnstur í Svíþjóð (900 t). 1080 t fara í stærðfræði í Danmörku (sjá Inntak í Viðauka 2).

Námskrá

Markmið sem koma fram í löndunum þremur eru aftur nokkuð lík en meiri áhersla virðist vera lögð á fræðilega nálgun í Danmörku og á Íslandi en í Svíþjóð. Meiri áhersla er lögð á að setja stærðfræði og notkun hennar í stærra samhengi í Svíþjóð. Það kemur sterklega fram í sænsku námskránni að nemendur eigi að upplifa stærðfræði sem hluta af menningu, og að hún hafi listrænt gildi. Alls staðar er trú á því að iðkun stærðfræðinnar muni efla rökhugsun og skilning á grundvallaratriðum sem eru nauðsynleg til að vera fær um að taka þátt í nútímasamfélagi. Námið á umfram allt að vera hagnýtt.

Kennsla-sem-athöfn

Kennarar á Íslandi og í Danmörku fá ítarlegar leiðbeiningar í námskránum um hvernig skuli kenna en hægt er að lesa milli línanna í Svíþjóð um nauðsynlega kennsluhætti. Ljóst er að töluverð áhersla er lögð á notkun hjálpartækja, t.d. notkun vasareiknivéla og tölva. Einnig er lögð áhersla á að kennsla verði fjölbreytt; með myndböndum, þrautarlausnum og möguleikum til munnlegrar tjáningar.

Námsmat

Í löndunum þremur lýkur grunnskólanámi með samræmdum prófum, en töluverður munur er á framkvæmd þeirra og óhætt er að segja að samræmt mat í systurlöndunum er í betra samræmi við námskrármarkmið en á Íslandi.

Á Íslandi er þriggja tíma skriflegt próf, að hluta til án hjálpargagna. Yfirleitt er aðallega prófað úr inntaksþáttunum en miklu minni áhersla lögð á námskrárþætti um aðferðir, þó að áfangamarkmið séu einnig skilgreind fyrir aðferðir.

Í Danmörku er prófað bæði munnlega í u.þ.b. 20 mín. um efni sem er undirbúið í hópum, og skriflega í tveimur hlutum, án og með hjápargagna. Fyrri hluti skriflegs prófs prófar færni nemenda en í seinni hluta beinist athygli matsmanna að þrautarlausnum.

Svipað er að segja um Svíþjóð, þar eru sett fram skýr markmið og síðan matsviðmiðanir til að nota við mat á frammistöðu sem nýtast bæði kennurum og nemendum. Í samræmdu prófi geta nemendur unnið í hópum til að undirbúa svör við hluta prófs, en þar er ekkert munnlegt próf. Í þriðja hluta prófsins fá nemendur þemahefti og er allt prófsefni tengt upplýsingum sem þar koma fram. Í Svíþjóð er lögð áhersla á frammistöðumat.

Ástand nemenda í upphafi

Alls staðar kemur fram að kennslan á að taka mið af stöðu nemenda en í Danmörku og Svíþjóð virðist vera meiri áhersla lögð á að nemendur hafi tækifæri til að hafa áhrif á skipulagningu kennslunnar.

Nám-sem-athöfn

Sömu atriði koma fram í löndunum þremur um hlutverk nemenda í stærðfræðinámi en meira er talað um áhrif nemenda í Svíþjóð og Danmörku, eins og fram hefur komið. Tjáning á skiljanlegu máli um stærðfræðileg efni hefur öðlast sess alls staðar. Áhrif uppbyggingar samræmdra prófa hefur örugglega eitthvað að segja um nálgun og áherslu kennara og hvað þeir láta nemendur gera í tímum og heima. Skv. lýsingum á stærðfræðinám á ekki lengur að notast eingöngu við blað og blýant. Fróðlegt væri að kanna hversu mikill tími fer samt í hefðbundinn dæmareikning.

Nám-sem-árangur

Allir hafa vonir um að nemendur geti notað stærðfræði í daglegu lífi og að rökhugsun þeirra eflist í gegnum nám í stærðfræði. Það gæti verið áhugavert að skoða eðli og innihald stærðfræðináms á framhaldsskólastigi og hlutverk þess. Er farið yfir efni enn einu sinni eða er reynt að skapa nýja sýn?

Námskröfur í stærðfræði í framhaldsskólum
á Íslandi, í Danmörku og í Svíþjóð

Inntak

Nemendur í máladeild í Danmörku fá stærðfræði sem hluta af náttúrufræði (naturfag), alls 187 t. Til samanburðar fá nemendur í mála- og félagsfræðabraut á Íslandi 9 e (174 t) í náttúruvísindum og 6 e (116 t) í stærðfræði, alls 290 t.

Nemendur í stærðfræðideild í Danmörku taka 267 t í kjarna, sbr. 290 t í náttúrufræðibraut á Íslandi. Nemendur á Íslandi geta bætt við sig allt að 290 t (15 e) en í Danmörku er einungis hægt að bæta við sig 127 t.

Nemendur í félagsfræðabraut á Íslandi fara í tvo áfanga, alls 112 t og jafningar þeirra í Svíþjóð fara í tvo áfanga (A og B), alls 129 t. Auk þess fara nemendur í náttúrufræðibaut í annan 129 t í brautarkjarna en einungis 86 t í viðbót val innan námsbrautar.

Efnisþættir virðast vera svipaðir í öllum löndunum en sennilega er ekki farið eins djúpt í lokaáföngum í Svíþjóð og Danmörku, tímans vegna (sjá Inntak í Viðauka 2).

Námskrá

Miklu minna er skrifað um markmið í dönsku námskránni en í þeirri íslensku, hvort heldur þegar fjallað er um loka- eða áfangamarkmið. Þrátt fyrir þetta er ekki annað að sjá en að sömu áherslurnar komi fram, þ.e. grundvallarþekking eða kunnátta, sjálfstæði og hæfileikar til að ræða um og nota stærðfræði.

Sömu atriði komu fram í Svíþjóð og á Íslandi, þ.e. að byggja upp kunnáttu og færni og tryggja jákvæð viðhorf, þó að markmið um viðhorf séu eingöngu skilgreind fyrir einstaka áfanga á Íslandi. Rökhugsun og tjáning og miðlun með aðstoð stærðfræðinnar eru nefnd sem mikilvægir þættir en í Svíþjóð er lögð ríkari áhersla á nauðsyn þess að nemendur beiti þrautarlausnum.

Kennsla-sem-athöfn

Í Danmörku er lögð áhersla á skriflega vinnu nemenda og skil á heimadæmum sem kennarar þurfa að fara yfir og gera athugasemdir við. Svíar fara beint frá markmiðum yfir í matsforsendur og láta kennurunum eftir að ákveða hvaða kennsluaðferðum skuli beitt. Íslensku kennararnir fá upp í hendurnar stuttar en laggóðar leiðbeiningar um hvernig skuli skipuleggja kennsluna, alveg niður í hvernig sé best að skipuleggja einstakar kennslustundir. Kennarinn á Íslandi er stjórnandinn og þarf að setja markmið, halda fyrirlestur, spyrja, skipa í hópa og taka saman í lok tímans. Sænski framhaldsskólinn gerir hins vegar alltaf ráð fyrir að nemendur hafi sitt að segja um bæði inntak og skipulag námsins.

Námsmat

Í dönsku námskránni er nær eingöngu rætt um formlegt mat í formi lokaprófs, bæði munnlegu og skriflegu. T.d. fá kennarar 10 bls. leiðbeiningarhefti um munnleg stúdentspróf í stærfræði.[12]

Nokkur munur er á því hvernig staðið er að námsmati í Svíþjóð. Í fyrsta lagi eru matsforsendur lagðar fram í sænsku námskránni og eru þær byggðar á frammistöðumati og gátlistum. Í öðru lagi verða nemendur að taka samræmd próf í Stærðfræði A, B, C og D, og einnig stendur til boða prófabanki fyrir Stærðfræði E.

Í íslensku námskránni er tilgangi og framkvæmd námsmats gerð góð skil og er áhersla lögð á nýtingu matsniðurstaðna hjá kennurum, nemendum og skólum og fjölbreytta nálgun. Í íslensku námskránni eru veitt ráð um hvernig sé æskilegt að standa að matsmálum en ekki er um nein samræmd próf að ræða né samræmdar matsviðmiðanir.

Ástand nemenda í upphafi

Erfitt er að segja nokkuð um upphafsástand nemenda og hvað skólakerfin gera ráð fyrir. Þetta gæti verið sérstaklega vandasamt í Danmörku þar sem álíka margir virðast fara í framhaldsskóla úr 9. og 10. bekkjum grunnskólanna.

Framhaldsskólar á Íslandi taka mið af einkunnum í samræmdum prófum og setja nemendur í þrennskonar áfanga – fornám, venjulegt nám og hraðnám. Í framhaldsskóla, sem heimsóttur var í Umeå, voru nemendur látnir taka stöðupróf strax eftir skólabyrjun og þeim veittur stuðningur og sérkennsla eftir þörfum allt eftir útkomu á prófi. Misjafnt er eftir sveitarfélögum í Svíþjóð hvernig brugðist er við mismunandi færni við upphaf framhaldsskólans. Í Malmö eru nemendur sem hafa ekki staðist kröfur í ákveðnum námsgreinum settir í sérstaka áfanga sem líkja má við hægferðir á Íslandi.

Nám-sem-athöfn

Nám-sem-athöfn virðist vera í fastara formi í Danmörku þar sem skilgreint er hversu oft og hversu mikið nemendur eiga að vinna ýmis verkefni. Heimadæmi mega ekki vera of einhæf – stundum þarf að semja stuttar skýrslur eða greinargerðir, einnig um hversdagsatburði.

Matsforsendur sem lagðar eru fram í Svíþjóð geta verið eins konar leiðarljós fyrir námsaðferðir nemendanna. Annars virðast nemendur gera svipaða hluti þó að í Svíþjóð virðist lögð meiri áhersla á að tengja vinnu nemenda við raunveruleikann.

Nám-sem-árangur

Nám í stærðfræði í löndunum þremur er jafnt á forsendum stærðfræðinnar sjálfrar, sem og til að nýta hana sem tæki í öðru námi og í daglegu lífi.

Umræður

Áherslur

Í öllum námskránum er talað um nauðsyn þess að hafa vald á stærðfræði til að taka þátt í nútímasamfélagi og mikilvægi þess að efla rökhugsun og hæfni til að tjá sig á táknmáli stærðfræðinnar og hafa nægan skilning til að geta rætt um stærðfræðileg efni.

Það er sterkur fræðilegur andi sem svífur yfir stærðfræðináminu í Danmörku og á Íslandi fyrir þá sem vilja fara eins langt og hægt er. En þeim sem fara í máladeild í Danmörku er einungis boðið upp á stutt nám í stærðfræði undir yfirheitinu „naturfag“. Sama gildir um Ísland þar sem æskileg kjarnakunnátta í stærðfræði er talin vera mjög lítil á félagsfræði- eða málabraut. Í Svíþjóð virðist lögð meiri áhersla á að tengja vinnu nemenda við raunveruleg viðfangsefni og þar eru gerðar meiri kröfur um að nemendur þjálfist í að beita þrautarlausnum í stærðfræðinámi.

Lýsingin á stærðfræðinámi er langskemmtilegust og heildstæðust í sænsku námskránum hvernig svo sem raunveruleikinn birtist nemendum síðan. Samkvæmt þeim gerir stærðfræðinám kröfur til nemandans um að vera virkur, að skoða og ræða málefni stærðfræðinnar og nota stærðfræðina. Þó að lesa megi um sömu atriði í gögnum frá Íslandi og Svíþjóð er sundurgreining og fræðileg nálgun sjaldnast langt undan í íslensku námskránum. Í Danmörku er gert ráð fyrir því að nemendur venjist afleiðsluaðferðum og að vinna með röksamhengi og röksemdafærslu. Nemendur eiga að læra að verða læsir á stærðfræði í daglegu lífi og á stærðfræðilegan texta.

Kennsluhættir

Í íslensku námskránni eru ráðleggingar um kennsluhætti í einstökum námsgreinum en ekki fyrirmæli. Í Danmörku er mikið skrifað um og dæmi tekin um heppilegar kennsluaðferðir í þeim viðauka og leiðbeiningum sem fylgja námskránni. Í sænsku námskránum eru ekki bein fyrirmæli um kennsluaðferðir og virðist vera litið svo á að það sé hlutverk kennara sem fagmanna í kennslu að útfæra þau markmið sem sett eru fram í námskránni.

Íslenska námskráin gefur fyrirmæli um kennsluaðferðir þar sem gert er ráð fyrir að kennarinn stjórni; hann setur markmið, heldur fyrirlestra, spyr, skipar nemendum í hópa og tekur saman í lok tímans. Lögð er áhersla á að nemendur öðlist þekkingu á fræðigreinunum og kynnist hugtökum og vinnubrögðum þeirra fræðigreina sem liggja til grundvallar skólafögunum.

Svíar leggja aftur á móti meiri áherslu á nemendalýðræði. Í Svíþjóð er það fremur nemandinn sem þátttakandi í lýðræðislegu samfélagi sem er viðmiðunin og lögð er áhersla á að námið eigi að efla færni hans til virkrar þátttöku. Það er tilgangurinn með náminu að hann læri að beita vinnubrögðum fræðigreinanna.

Í dönsku námskránum virðist sem fræðigreinin eða fagið sé fremur viðmiðunin. Þannig er talað um að nemendur eigi að tileinka sér vinnuaðferðir félagsfræði, stærðfræði, sagnfræði o.s.frv. Markmiðin snúast gjarnan um hvort nemendur séu færir um að beita aðferðum fræðigreinarinnar og að efla færni nemenda í að beita hugtökum fræðigreina við greiningu og túlkun. Það bendir til að danska námskráin sé að þessu leyti líkari þeirri íslensku en þeirri sænsku.

Hlutverk nemenda

Í Svíþjóð og Danmörku er meiri áhersla á færni til að takast á við raunveruleg viðfangsefni í samfélaginu og nemendur eiga að bera ábyrgð á vali á viðfangsefnum í samráði við kennara. Útfærslan er bæði í höndum kennara og nemenda þar sem nemendur eiga að venjast lýðræðislegum vinnubrögðum. Bæði í dönsku og sænsku námskránum er ítrekað bent á ábyrgð nemenda á eigin námi. Ekkert er kveðið á um inntak í sænsku námskránum og markmiðin snúast um færni nemenda til að beita ákveðnum vinnubrögðum við úrlausn verka. Nálgun virðist vera fræðilegri í Danmörku en í Svíþjóð virðist vera meiri áhersla á nýtingu stærðfræðinnar í daglegu lífi.

Námsmat

Prófað er á samræmdan hátt í löndunum þremur í lok grunnskólans en uppbygging og framkvæmd prófsins er miklu síður í takt við opinbera námskrá hér á Íslandi en í hinum löndunum. Nemendur í Svíþjóð hafa matsforsendur til viðmiðunar um þær kröfur sem námið gerir til þeirra.

Í íslensku námskránum eru almenn ráð um námsmat þar sem kennurum er bent á að nota fjölbreyttar aðferðir, bæði símat og lokamat og meta bæði ferli og afrakstur verkefna og þess háttar. Hins vegar eru engar matsviðmiðanir sem kennarar geta stuðst við til að ganga úr skugga um hvort nemendur hafi náð þeim námsmarkmiðum sem að var stefnt. Í íslenskum framhaldsskólum eru fleiri próf og oftar en í hinum löndunum. Engin samræmd próf eru í íslenskum framhaldsskólum.

Í sænsku námskránni eru ítarlegar leiðbeiningar um frammistöðumat og matsforsendur eru skýrar, bæði fyrir nemendur og kennara. Samræmda prófakerfið í Svíþjóð hefur það markmið að veita kennurum stuðning við að greina þekkingu nemenda og gefa þeim einkunnir. Samræmdu prófin eru forsendur þess, að grundvöllur sá er matið byggir á, sé eins samhljóða á landsvísu og unnt er. Þannig virðist fremur litið á samræmd próf sem tæki til gæðastjórnunar í sænska skólakerfinu en beina stýringu á því sem fram fer í skólunum.

Námsmatið í Danmörku byggir bæði á símati og samræmdum skriflegum og munnlegum lokaprófum í ýmsum fögum. Skrifleg misserispróf eru haldin í stærðfræði (í stærðfræðideild) og í þeim fögum sem nemendur eru búnir að velja á æðsta stigi. Tilgangurinn með prófunum er fyrst og fremst að læra að undirbúa sig fyrir próf og þannig er ferlið metið jafnt sem afraksturinn. Skriflegu lokaprófin í Danmörku eru samræmd og kröfur eru oftast gerðar til nemenda um að beita aðferðum fræðigreinarinnar til að greina ákveðið efnissvið.

Rétt er að ítreka í lokin að greiningin á námskröfum í löndunum þremur sem hér hefur verið rædd byggir á því sem sagt hefur verið í námskrám og öðrum opinberum lýsingum en ekki á vettvangsrannsóknum í kennslustofum né könnun á þeim útfærslum á námskrám sem gerðar eru í námsefni hverju sinni. Spurningin er hvort og hvernig þær áherslur sem lagðar eru í opinberum lýsingum um stefnu og framkvæmd í skólamálum komi fram í sjálfu skólastarfinu.

Skipulag og námstími

Rætt verður um þann tíma sem varið er til náms eftir mismunandi leiðum:

  • Stærðfræði í grunnskólum

  • Í bóknámsbrautum

  • Tímaskipting innan brauta

  • Stærðfræði alls

Grunnskólar

Nokkrir þættir í tímaskiptingu í grunnskólanámi eru athyglisverðir (tafla 1):

  • Fjöldi kennslustunda á Íslandi er 14% meiri en í Danmörku og 21% meiri en í Svíþjóð.

  • Helstu bóknámsgreinar sem eru til skoðunar í samanburðarkönnuninni eru hlutfallslega minni hluti heildarnámsins á Íslandi en í Svíþjóð og Danmörku (39% af námi á móti 50 og 48%).

  • Mun minni tíma er varið til kennslu móðurmáls á Íslandi en í Danmörku og Svíþjóð (16% sbr. 22–26%).

  • Meiri tími fer í stærðfræði á Íslandi (1200 t sbr. 1080 og 900 t) þó að hlutfallslega sé munurinn ekki mikill (14-15%).

  • Mun minni tíma er varið til kennslu náttúrufræði á Íslandi en í Svíþjóð (624 t og 800 t) en eiginlega enginn munur er milli Íslands og Danmerkur (624 t og 630 t).

Tafla 1 – Tímaskipting í grunnskólanámi
Grunnskólatímar Ísland % Danmörk % Svíþjóð %
Heildartímar 8064   7050   6665  
Íslenska/danska/sænska 1296 16% 1800 26% 1490 22%
Stærðfræði 1200 15% 1080 15% 900 14%
Náttúrufræði 624 8% 630 9% 800 12%
Samtals 3120 39% 3510 50% 3190 48%

 

Skylt er að taka þrjú samræmd próf í lok grunnskóla í Danmörku og Svíþjóð – í dönsku/sænsku, í ensku og í stærðfræði og er ávallt prófað bæði munnlega og skriflega. Á Íslandi var áður skylda að taka samræmd próf en þrátt fyrir valfrelsið núna taka nær allir nemendur samræmd próf í íslensku og stærðfræði eins og fram kemur í töflu 2, en færri kusu að fara í náttúrufræðipróf vorið 2002. Ekki er prófað munnlega í stærðfræði á Íslandi.

Tafla 2 – Samræmd próf við lok grunnskóla

Samræmd próf vor 2002 Fjöldi nemenda % af árgangi
Íslenska 3671 94.7
Stærðfræði 3647 94.0
Náttúrufræði 2682 69.2

 

Framhaldsskólar

Almennar leiðir til stúdentsprófs sem bornar voru saman (tafla 3, sjá einnig viðauka 1):

Tafla 3 – Almennar leiðir til stúdentsprófs

Ísland – 2702 t Danmörk – 2730–2747 t Svíþjóð – 2150 t
Málabraut
Félagsfræðabraut
Náttúrufræðibraut
Málabraut
Stærðfræðibraut
Félagsfræðabraut
Náttúrufræðibraut

 

Mismunandi leiðir eru í boði milli landa en valfrelsi er bæði mismikið og því stýrt á ólíkan hátt. Athyglisvert er að heildarkennslutími í framhaldsskólanámi er mjög svipaður á Íslandi og í Danmörku (um 2600-2700 klukkustundir) þrátt fyrir að lengd námsins sé 3 ár í Danmörku en 4 á Íslandi. Í Svíþjóð er heildarkennslutíminn styttri (2150 klukkustundir í þriggja ára námi).

Reynt var að taka saman tímaskiptingu innan námsbrauta á sambærilegan hátt (tafla 4):

  1. Námsgreinar sem allir nemendur á öllum bóknámsbrautum taka í viðkomandi löndum.

  2. Brautarkjarni: hér kemur fyrsti vísir að sérhæfingu, þ.e.a.s. hér eru námsgreinar sem allir innan sömu brauta fara í.

  3. Sjálfstæð vinna er einungis skilgreind sérstaklega í Svíþjóð (sem prójekt-vinna).

  4. Hér er um að ræða það sem líkist mest kjörsviðum á Íslandi þar sem nemendur fá tækifæri til frekara náms í nokkrum greinum.

  5. Valfög sem eru opin en tengd kjörsviðum er að finna í Svíþjóð.

  6. Frjálst val.

Tafla 4 – Tímaskipting innan námsbrautar

Brautir Ísland Danmörk Svíþjóð
Kjarni á bóknámsbrautum 1428 t (74 e) 1285 t 860 t (1000 p)
Brautarkjarni: fyrsti vísir að sérhæfingu 463 t (24 e) ~ 700 t ~ 500 t
Prójekt-vinna     86 t (100 p)
Kjörsvið/val á námsbrautum 579 t (30 e) ~ 540 t ~ 280 t (250–400 p)
Valfög tengd kjörsviðum er að finna í Svíþjóð     ~172 t (300 p)
Frjálst val 232 t (12 e) 210 t ~258 t (300 p)
Samtals 2702 t (140 e) ~ 2730 t 2150 t (2500 p)

 

Við getum skoðað hve miklum tíma er varið til stærðfræði (tafla 5) innan skólakerfanna. Viðfangsefnin sem talin eru upp hjá löndunum þremur eru einnig mjög sambærileg en töluvert minni stærðfræði er í boði í hinum löndunum þegar um kjörsvið er að ræða.

Tafla 5 – Tíma varið til stærðfræðikennslu
Stærðfræði Ísland % Danmörk % Svíþjóð %
Grunnskóli 1200 15% 1080 15% 900 14%
Framhaldsskóli            
     Kjarni (A) 116 4% 87 3% 120 6%
     Sérhæfing (B) 174 6% 267 10% 172 8%
     Kjörsvið (C og D) 290 11% 127 5% 86 6%
Samtals 1780   1474   1278  

 

Gert er ráð fyrir meiri tíma til kennslu stærðfræði í skólum á Íslandi en í Svíþjóð og í Danmörku. Kjarnatímar (A) í stærðfræði í framhaldsskóla eru sambærilegir milli Svíþjóðar og Íslands og á máladeild í Danmörku. Kjarnatímar og brautarkjarni (A+B) eru álíka langir í löndunum þremur 290 t á Íslandi, 267 t í Danmörku og 292 t í Svíþjóð.

Minnt er á að nemendur á Íslandi hafa fengið miklu fleiri kennslutíma í stærðfræði í grunnskólum. Þannig að ef nemandinn á Íslandi tekur alla stærðfræði sem í boði eru í grunn- og framhaldsskólum tekur hann 1780 t, samanber 1474 t eða 1278 t í Danmörku og Svíþjóð.

Töluvert meiri tími fer í sérhæfingu (D og E) á Íslandi, bæði rauntími sem og hlutfallslega (tafla 6).

Tafla 6 – Stærðfræðiáfangar í boði

Ísland
STÆ 103, 203/263 6 e/140e (116 t) 4%
STÆ 303, 403, 503 9 e/140 e (174 t) 6%
Kjörsvið (15 e í boði) 15 e/140 e (290 t) 11%
Samtals   21%
Danmörk
(Naturfag með stærðfræði) (87 t/2730 t ) (3%)
Stærðfræði B 267 t/2747 t 10%
Stærðfræði A 127 t/2747 t 5%
Samtals   15%
Svíþjóð
Stærðfræði A og B 150 p/2500 p (86 t) 6%
Stærðfræði C og D 200 p/2500 p (215 t) 8%
Val innan námsbrautar og valfög 100 p/2500 p (86 t) 4%
Samtals   18%

 

Almennt séð er námið mest bútað niður á Íslandi (tafla 7). Á Íslandi eru flestir áfangar þriggja eininga sem samsvara 58 t. Það eru færri og oft stærri áfangar í Svíþjóð en á Íslandi og flestir sænsku áfangarnir samsvara 86 t eða 43 t. Minnstu áfangarnir í Danmörku eru stærri en venjulegir áfangar á Íslandi. Ávallt er fleiri en einum efnisþætti raðað saman í dönsku námslýsingunum en þættir sem kenndir eru í sama áfanganum í Danmörku eru kannski kenndir í þremur til fimm áföngum á Íslandi.

Tafla 7 – Stærð áfanga í kjarna og á kjörsviðum í helstu bóklegu fögunum
Fjöldi áfanga í boði Ísland Danmörk Svíþjóð
Móðurmál 11 3 e, 58 t 3 79–210 t 3 100–200,
86–172 t
Stærðfræði 16 3 e, 58 t 6 75–233 t 8 50–100,
43–86 t
Náttúrufræði 19 3 e, 58 t Allt að 11 79–105 t 14 50–150,
43–129 t

 

Niðurstöður

Tími

Meiri tíma er varið til kennslu stærðfræði í skólum á Íslandi en í Svíþjóð og í Danmörku og meiri tími fer í sérhæfingu eða kjörsvið.

Námskröfur

  • Sundurgreining og fræðileg nálgun er sjaldnast langt undan í íslensku og dönsku námskránum í stærðfræði.

  • Í Svíþjóð virðist lögð meiri áhersla á að tengja vinnu nemenda við raunveruleg viðfangsefni.

  • Samræmd próf í stærðfræði eru í sænsku og dönsku framhaldsskólum.

  • Uppbygging og framkvæmd prófsins er miklu síður í takt við opinbera námskrá hér á Íslandi en í hinum löndunum.

  • Bæði í dönsku og sænsku námskránum er ítrekað bent á ábyrgð nemenda á eigin námi.

Tilvísanir

  1. http://www.ismennt.is/vefir/namskra/f/reikna/_Toc459734266.

  2. http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/lov/bilag23.htm?menuid=150555.

  3. http://www3.skolverket.se/BAS_CACHE/0203/CGBFRK.htm.

  4. Allyson Macdonald og fleiri. 2002. Samanburðurkönnun á skólakerfum á Íslandi, í Danmörku og í Svíþjóð. Félagsvísindastofnun HÍ og Rannsóknarstofnun KHÍ.

  5. http://bella.stjr.is/utgafur/AGalmennurhluti.pdf.

  6. http://bella.stjr.is/utgafur/AFalmennurhluti.pdf.

  7. http://www.skolverket.se/pdf/lpo.pdf og http://www.skolverket.se/pdf/lpf94.pdf.

  8. http://pub.uvm.dk/2001/matematik/hel.pdf,
    http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervisgym/matematik.PDF.
  9. Kafli 1, sjá 4.
  10. Allyson Macdonald og Gunnar Börkur Jónasson. 2002. Report on school visits in Umeå 5th and 6th June 2002. 14 bls. og viðaukar.
  11. M. Allyson Macdonald. 2002. Kennslulíkan. Netla – Veftímarit um uppeldi og menntun, Rannsóknarstofnun Kennaraháskóla Íslands http://netla.khi.is/sprotar/2002/001/index.htm.
  12. http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/censor/mdt/ma2000.PDF.

 

Heimildir

Ísland

Aðalnámskrá grunnskóla. 1999. Stærðfræði. Menntamálaráðuneytið. 136 bls.

Aðalnámskrá framhaldsskóla. 1999. Stærðfræði. Menntamálaráðuneytið. 80 bls.

Námsmatsstofnun. 2002. Niðurstöður úr samræmdum prófum í 10. bekk 2002.
http://www.namsmat.is/samrpr/nidrsf02.html. Sótt 9.9.2002.

Svíþjóð

Matematik. 2000.
http://www3.skolverket.se/ki/SV/0102/sf/11/kurs/_MA1010.html. Sótt 21.6.2002

Ämnesprov í svenska och svenska som andraspråk, engelska och matematik för skolår vårterminen 2001. En redovisning av besvarade lärarenkäter. Enheten för prov och fristående skolor. Dnr 73-2001:3717. 13 bls.
http://www.lhs.se/resunits/prim/.

Om provsystemet.
http://www.skolverket.se/nat/om.shtml.

Ämnesproven skolår 9 2001. Skolverket. 41 bls.

Gymnasieskolans kursprov vårterminen 2001. En resultatredovisning.

Nationella kursprov i matematik 2002.
http://www.umu.se/edmeas/np/index.html.

Danmörk

Centrale kundskabs- og færdighedsområder for faget matematik.
http://www.klaremal.uvm.dk/servlet.../matemati.xml?fag=matematik&emne=ckf&print=tru.
http://pub.uvm.dk/2001/matematik/hel.pdf. Sótt 2.7.2002.

Prøver Evaluering Undervisning Matematik Fysik/kemi 2001.
http://pub.uvm.dk/2001/peumatematik/helpubl.pdf

Gymnasiebekendtgørelsen. 1999. Naturfag.
http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/lov/bilag25.htm?menuid=150555.
http://www.uvm.dk/cgi/printpage/pf.cgi. Sótt 2.7.2002.

Gymnasiebekendtgørelsen. 1999. Matematik. http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/lov/bilag23.htm?menuid=150555.
http://www.uvm.dk/cgi/printpage/pf.cgi. Sótt 2.7.2002.

Vejledninger.
http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervisgym/matematik.PDF. 43 bls.

Vejledning for Mundtlig Studentereksamen i Matematik.
http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/censor/mdt/ma2000.PDF.

 

Viðauki 1

 

Mynd 1 – Málabraut á Íslandi (MI), 140 einingar

A. Kjarnagreinar
(FI, MI, NI, allir) 74 e
B. Brautarkjarni
á málabraut 24 e
D. Kjörsvið 30 e F. Frjálst val 12 e

Íslenska 15 e
ÍSL 102, 202, 212,
303, 403, 503

Stærðfræði 3 e
STÆ 103

Erlend tungumál 27 e
Enska
ENS 102, 203, 303
Danska
DAN 103, 203
3. erlenda mál
103, 203, 303, 403

Samfélagsgreinar 9 e
Félagsfræði FÉL 103
Saga SAG 103, 203

Lífsleikni 3 e
LKN 103/101, 111 121

Náttúrufræði 9 e
NÁT 103, 113, 123

Stærðfræði 3 e
STÆ 263

Erlend tungumál 21 e
Enska ENS 403, 503
Danska DAN 303
3. erlenda tungumál 503
4. erlenda tungumál 103, 203, 303

Íslenska
ÍSL 603, 613, 703, 713

Stærðfræði
STÆ 313, 363, 413, 463

Erlend tungumál
Danska/norska/sænska
DAN 403, 503, 603
Enska
ENS 603, 703, 803
Franska
FRA (403, 503), 603, 703, 803
Latína LAT
Spænska
SPÆ (403, 503), 603, 703, 803
Þýska
ÞÝS (403, 503), 603, 703, 803
Mál skv. vali skóla

Nemandi velur sér ekki færri en þrjár greinar sem kjörsviðsgreinar, sem eru annaðhvort viðbót við kjarnagreinar eða nýjar greinar.

Samanlagt nám í grein á kjörsviði og í kjarna verði að lágmarki 9 einingar.

  

 

Mynd 2 – Máladeild í Danmörku (MD), 2730 tímar

A. Kjarnagreinar
(MD og SD) 1285 t
B. Deildarkjarni í máladeild 692 t D. Valgreinar fyrir
 máladeild eingöngu
(2. /3. b) 516
600 t
F. Valgreinar
almennt 204
216 t
Danska (A)
1., 2. og 3. b.
262 t

Saga m. félagsfr. (A)
1., 2. og 3. bekk
236 t
Fornfræði (C) 3. b.
76 t
Trúarbragðafræði
(C) 3.b.
76 t

Enska (B) 1. og 2. b.
187 t

Líffræði (C) 1. b.
79 t
Landafræði (C) 2. b.
81 t

Myndlist (C) 3. b.
51 t
Tónlist (C) 1. b.
79 t

Íþróttir (C)
1., 2. og 3. b.
158 t

2. erlenda mál (B)
1. og 2. b.
213 t
3. erlenda mál (C)
1. og 2. b.
213 t
Latína (C) 1. b.
79 t

Náttúrufræði
m.stærðfræði (C)
1. og 2. b.
187 t

Félagsfræði (A),
2. og 3. b.
262 t

2. erlenda mál (A) 3. b.
127 t
3. erlenda mál (B) 3. b.
127 t
Latína (A) 2. og 3.b.
262 t
Gríska (A) 2. og 3. b.
338 t

Stærðfræði (B)
2. og 3. b.
á málabraut
262 t

Tónlist (A)
2. og 3. klasse
262 t

Félagsfræði (B),
Sálfræði (C)
Rekstrarhagfræði (C)
Heimspeki (C),
Fjölmiðlafræði (C)

Erlend tungumál:
Franska eða þýska (B)
Franska, ítalska,
spænska, rússneska,
japanska eða þýska (C)
latína (C) og (B),
gríska (C)

Líffræði (B),
landafræði (B)
eðlisfræði (B),
efnafræði (B)
stjörnufræði (C)

Tækni (C),
tölvufræði (C)

Leiklist (C),
tónlist (B),
myndlist (B),
hönnun (B)

 

Mynd 3 – Félagsfræðibraut á Íslandi (FI), 140 einingar

A. Kjarnagreinar
(FI, MI, NI, allir) 74 e
B. Brautarkjarni á félagsfræðibraut 24 e D. Kjörsvið 30 e F. Frjálst val 12 e

Íslenska 15 e
ÍSL 102, 202, 212,
303, 403, 503

Stærðfræði 3 e
STÆ 103

Erlend tungumál 27 e
Enska
ENS 102, 203, 303
Danska
DAN 103, 203
3. erlenda mál
103, 203, 303, 403

Samfélagsgreinar 9 e
Félagsfræði FÉL 103
Saga SAG 103, 203

Lífsleikni 3 e
LKN 103/101, 111 121

Náttúrufræði 9 e
NÁT 103, 113, 123

 

Stærðfræði 3 e
STÆ 263/203

Erlend tungumál 3 e
Enska ENS 403

Samfélagsgreinar
18 e

Félagsfræði FÉL 203
Saga SAG 303
Landafræði LAN 103
Samfélagsgreinar skv.
ákvörðun skóla (9 e)

 

Íslenska
ÍSL 603, 613, 703, 713

Stærðfræði
STÆ 313, 303/363, 413, 403/463, 503

Samfélagsgreinar
Félagsfræði
FÉL 303, 313, 403, 503
Fjölmiðlafræði
FJÖ 103, 203, 213, 303
Rekstrarhagfræði
REK 103, 203, 213, 303
Landafræði
LAN 203, 303
Saga
SAG 313, 403, 413, 503
Sálfræði
SÁL 103, 203, 303 Uppeldisfræði
UPP 103, 203, 303
Þjóðhagfræði
ÞJÓ 103, 203, 303

Nemandi velur sér ekki færri en þrjár greinar sem kjörsviðsgreinar, annaðhvort sem viðbót við kjarnagreinar eða nýjar greinar.

Samanlagt nám í grein á kjörsviði og í kjarna verði að lágmarki 9 einingar.

 

 

Mynd 4 – Félagsfræðabraut í Svíþjóð (FS), 2500 poäng

A. Kjarnagreinar
(FS, NS) 1000 p
B. Brautarkjarni
á félagsfræðabraut
550 p
D. Val innan
námsbrautar
250–400 p
F. Frjálst val 300 p
Sænska A og B
200 p

Stærðfræði A og B
150 p

Enska A og B
200 p

Samfélagsgreinar
Félagsfræði A 100 p
Saga A 100 p

Trúarbragðafræði
50 p

Náttúrufræði A
50 p

Listgreinar
50 p

Íþróttir og heilsurækt 100 p

Sænska C
50 p

Erlend tungumál
200 p

Samfélagsgreinar
Landafræði 100 p
Sálfræði 50 p
Heimspeki 50 p

Náttúrufræði B
100 p

Hagfræði 350 p
(rekstrarhagfræði,
upplýsingar og hönnun,
alþjóðahagfræði,
hagréttarfræði)

Tungumál 400 p

Samfélagsfræði 250 p
(saga, trúarbragðafræði, samfélagsfræði)

Menning 400 p
(saga, menningarsaga,
bókmenntir,
trúarbragðafræði,
nútíð og framtíð)
 

 
C. Prójekt-vinna
100 p
E. Valfög sem tengjast fagbraut
150–300 p
  T.d. stjórnun, líffræði, tölvunotkun, heimspeki, rekstrarhagfræði, útflutningur og innflutningur, landafræði, saga, menningar- og hugmyndasaga, nútímalistir, uppeldisfræði fyrir leiðtoga, fjölmiðlafræði, sálfræði, trúarbragðafræði, hagréttarfræði, félagsfræði, alþjóðatengsl, samfélagsfræði o.fl.

 

Mynd 5 – Náttúrufræðibraut á Íslandi (NI), 140 einingar

A. Kjarnagreinar
(FI, MI, NI, allir) 74 e
B. Brautarkjarnar á náttúrufræðibraut
24 e
D. Kjörsvið 30 e F. Frjálst val 12 e

Íslenska 15 e
ÍSL 102, 202, 212, 303, 403, 503

Stærðfræði 3 e
STÆ 103

 

Náttúrufræði 9 e
NÁT 103, 113, 123

 

Erlend tungumál 27 e
Enska
ENS 102, 203, 303
Danska
DAN 103, 203
3. erlent mál
103, 203, 303, 403

Samfélagsgreinar 9 e
Félagsfræði FÉL 103
Saga SAG 103, 203

 

Stærðfræði 12 e
STÆ 203, 303, 403, 503

Náttúrufræði 12 e
Eðlisfræði 103
Efnafræði 103
Jarðfræði 103
Líffræði 103

 

Stærðfræði
STÆ 313, 513, 523, 603, 703

Náttúrufræðigreinar
Eðlisfræði
EÐL 203, 303, 403
Efnafræði
EFN 203, 303, 313
Jarðfræði
JAR 113, 203, 213
Landafræði
LAN 103, 203, 303
Líffræði
LÍF 113, 203, 303
Tölvufræði TÖL 103, 113, 203, 303

Nemandi velur sér ekki færri en þrjár greinar sem kjörsviðsgreinar, annaðhvort sem viðbót við kjarnagreinar eða nýjar greinar.

Samanlagt nám í grein á kjörsviði og í kjarna verði að lágmarki 9 einingar.

 

 

Mynd 6 – Stærðfræðideild í Danmörku (SD), 2747 tímar

A. Kjarnagreinar
(MD og SD) 1285 t
B. Deildarkjarni
í stærðfræðideild
719 t
D. Valgreinar fyrir stærðfræðideild
eingöngu (2./3. b.)
508–524 t
F. Valgreinar
almennt
204–216 t
Danska (A)
1., 2. og 3. b.
262 t

Saga m. félagsfr. (A)
1., 2. og 3. b.
236 t
Fornfræði (C) 3. b.
76 t
Trúarbragðafræði
(C) 3.b.
76 t

Enska (B)
1. og 2. b.
187 t

Líffræði (C) 1. b.
79 t
Landafræði (C) 2. b.
81 t

Myndlist (C) 3. b.
51 t
Tónlist (C) 1. b.
79 t

Íþróttir (C)
1.,2. og 3. b.
158 t

2. erlenda mál,
1. og 2. b. (B eða C)
213 t

Eðlisfræði (B),
1. og 2. b.
160 t
Efnafræði (C) 1. b.
79 t

Stærðfræði (B),
1. og 2 b.
267 t

Félagsfræði (A)
2. og 3. b.
262 t

Enska (A) 3. b.
127 t
Erlent mál (B) 3. b.
127 t
Erlent mál (A) 3. b.
127 t

Líffræði (A)
2. og 3. b.
262 t
Eðlisfræði (A) 3. b.
262 t
Efnafræði (A)
262 t

Stærðfræði (A) 3. b.
127 t

Tónlist (A)
2. og 3 b.
262 t

Félagsfræði (B), sálfræði (C)
rekstrarhagfræði (C)
heimspeki (C),
fjölmiðlafræði (C)

Erlend tungumál:
Franska eða þýska (B)
Franska, ítalska,
spænska, rússneska,
japanska eða þýska (C)
Latína (C) og (B),
gríska (C)

Líffræði (B),
landafræði (B)
eðlisfræði (B),
efnafræði (B)
stjörnufræði (C)

Tækni (C),
tölvufræði (C)

Leiklist (C), tónlist (B),
myndlist (B), hönnun (B)

Íþróttir (B)

 

Mynd 7 – Náttúrufræðibraut í Svíþjóð (NS), 2500 poäng

A. Kjarnagreinar
(FS, NS allir) 1000 p
B. Brautarkjarni
á náttúrufræðibraut
600 p
D. Val innan
námsbrautar
300 p
F. Frjálst val 300 p
Sænska A og B
200 p

Stærðfræði A og B
150 p

Enska A og B
200 p

Samfélagsgreinar
Félagsfræði A 100 p
Saga A 100 p

Trúarbragðafræði
50 p

Náttúrufræði A
50 p

Listgreinar
50 p

Íþróttir og heilsurækt 100 p

 

Stærðfræði C og D
200 p

Tungumál 100 p

Líffræði A 100 p
Eðlisfræði A 100 p
Efnafræði A 100 p

Stærðfræði og upplýsingatækni
300 p

(stærðfræði, forritun,
gagnavinnsla)

Náttúrufræði 300 p
(líffræði, eðlisfræði,
efnafræði)

Umhverfisfræði 300 p
(líffræði, efnafræði,
umhverfisfræði,
umhverfispólitík)

 
C. Prójekt-vinna
100 p
E. Valfög sem tengjast fagbraut
200 p
  T.d. líffræði, tölvuáfangar, heimspeki, eðlisfræði, hagfræði, landafræði, saga, íþróttir, efnafræði, stærðfræði, vistfræði, fjölmiðlafræði, sálfræði, trúarbragðafræði, hagréttarfræði, samfélagsfræði, tjáning, sænska, tækni og þróun.

 

Viðauki 2

SÁS – stærðfræði – grunnskólinn – Ísland

7 ramma aðferðin notuð til að greina námskrá í stærðfræði í grunnskólum á Íslandi

Inntak
Aðferðir
Þáttur tungumáls
Lausnir verkefna og þrauta
Röksamhengi og röksemdafærslur
Tengsl stærðfræðinnar við daglegt líf og önnur svið

Inntak
Tölur
Reikningar, reikniaðferðir og mat
Hlutföll og prósentur
Mynstur og algebra
Rúmfræði
Tölfræði og líkindafræði

Þjálfa leikni í að leysa verkefni.
Læsi á texta og myndræna framsetningu.
Notkun tungumáls og táknmáls, munnlegrar og skriflegar tjáningar og tjáskipta (bls. 7).

Námskrá
Langtímamarkmið
Lágmarkskunnátta í stærðfræði er hverjum manni nauðsynleg í daglegu lífi.
Einnig mikilvægt að geta tekið afstöðu og metið upplýsingar; til þess þarf þekkingu,
rökvísi og sjálfstraust (bls. 5).
Miða kunnáttu við það sem getur nýst fólki í mörgum störfum (bls. 5)
og gerir því kleift að sýna frumkvæði í starfi (bls. 6).
Þeir sem ætla að starfa við vísindi verða að kynnast stærðfræðinni á unga aldri (bls. 6).

Leiðir
Nemendur ættu að skynja nám í stærðfræði sem ferli og skapandi athöfn (bls. 8).

Stærðfræðin sem fræðigrein
Stærðfræði sem fræðigrein er nokkuð oft nefnd t.d. eðlisþættir stærðfræðinnar eru að veita vitsmunalega ögrun og að leysa viðfangsefni samfélagsins (bls. 14).

Kennsla-sem-athöfn
Leggja inn.

Skipuleggja kjarnaefnið fyrir alla og ítarefnið eftir þörfum.

Nemendur þurfa að fá æfingu og hlutbundna vinnu.
Sýna kvikmyndir, myndbönd, tölvuforrit.
Leggja áherslu á myndræna framsetningu.
Leyfa nemendum að nota tölvur og reiknivélar þegar ávinningur er af því.
Skipuleggja samvinnu nemenda.
Flétta námið inn í leik.
Leggja áherslu á hugarreikning.
Nota verkefni úr daglegu lífi, hermileiki og tölvu og vasareikna.

Taka saman.
Stýra umræðum.

Námsmat
Meginsjónarmið
Nemandinn njóti sem best.
Nemendum séu ljósar forsendur mats.
Fjölbreytni sé í vali efnisþátta
Verkefni höfði til sem flestra matsþátta.
Námsmat taki til allra markmiða.
Stærðfræði sé mest prófuð í eðlilegu samhengi, síður sem sundurlaus þekkingaratriði.
Fjölbreytni í formi

Ytra mat
Samræmd könnunarpróf í 4. og 7. bekk
Samræmt próf í 10. bekk

Matsaðferðir
Þörf er á að meta aðferðir, inntak og viðhorf. Mælt er með mjög fjölbreyttu matsformi, m.a. ritgerðir, stuttir fyrirlestrar, viðtöl, munnleg eða skrifleg verkefni, skipuleg athugun með gátlistum, safnmappa.

Tilgangur er að greina vanda einstakra nemenda, veita upplýsingar um árangur kennslu, meta stöðu miðað við næsta námsstig og prófa námsefni eða kennsluhætti.

Ástand nemenda í upphafi
Ef ráðum um námsmat hefur verið fylgt eftir eiga að liggja fyrir greinargóðar upplýsingar um stöðu nemenda hverju sinni, í gegnum stöðluð próf, athuganarverkefni, ritgerðir, munnlegar kynningar og munnleg próf.

Nemendur, sem eiga hægara með stærðfræði, eru hvattir til að reyna að draga fram almennar reglur á meðan aðrir fást við einstök tilvik (bls. 13).

Nám-sem-athöfn
Nemendur fari nokkurn veginn samstiga í gegnum kjarnaefnið og fái á hverjum tíma ólíkt ítarefni.

Dæmi um viðfangsefni sýna þyngdarstig en önnur dæmi gefa sýnishorn af ítarefni fyrir einstaklinga og litla hópa.

Lesa stærðfræðitexta við sitt hæfi.
Tjá sig á skiljanlegu máli við aðra, bæði í töluðu máli og rituðu.

Skilningur nemenda eflist við það að lesa, tjá sig og skiptast á skoðunum og hafa vald á reiknitækjum.

Fá nægan tíma til úrvinnslu, vinna með hugtökin við lausn verkefna, einir og með öðrum og kynnast þeim frá ýmsum sjónarhornum.
Leggja fram hugmyndir í sameiginlegar umræður.
Nýta tæknibúnaðinn.

Nám-sem-árangur
Sjálfstraust
Ánægja
Leikni
Kunnátta

Trú á raunhyggju: „Einnig er æskilegt að starfsmaður búi yfir kunnáttu sem gerir honum kleift að sýna frumkvæði í starfi Slíkir starfsmenn hafa einnig tilhneigingu til að breyta starfinu og stuðla þannig að framförum í þjóðfélaginu“ (bls. 6).

„þótt námsefnið sé aðgreint á þennan hátt í tíu flokka aðferða og inntaks er mikilvægt að flétta inntak og aðferðir saman þannig að nemendur skynji námsefnið sem samstæða heild og þannig laði fram jákvæð viðhorf þeirra“ (bls. 8).

SÁS – stærðfræði – grunnskólinn – Danmörk (með Michael Dal)

7 ramma aðferðin notuð til að greina námskrá í stærðfræði í grunnskólum í Danmörku

Inntak
Stærðfræði er kennd í öllum bekkjum grunnskólans. Gert er ráð fyrir að nemendur skilji og vinni með og greini stærðfræðileg vandamál í samhengi sem tengist hversdagslífinu, samfélaginu og náttúrunni.

Vinna með talnafræði og algebru

  • nota tölur í mismunandi samhengi, þróa og nota reikningsreglur, ákveða stærð með því að mæla og reikna, lesa og nýta breytur og vinna með táknræna framsetningu í hnitakerfi.

Vinna með rúmfræði og

  • aðferðafræði rúmfræðinnar, túlka og vinna með mismunandi tegundir af teikningu, rannsaka og lýsa eiginleika rúmfræðinnar.

Vinna með hagnýta stærðfræði

  • vinna með talnafræði
  • vinna með líkindareikning

Notkun tungumáls stærðfræðinnar

  • stærðfræði og tungumál – læsi
  • stærðfræði í daglegu lífi og á
  • stærðfræðilega texta

Lausnir verkefna og þrauta
Röksamhengi og röksemdafærslur
Innri tengsl og yfirfærsla stærðfræði á önnur svið
Öðruvísi mynstur á ólíkum sviðum og ásýnd í öðrum fræðigreinum

Námskrá
Markmiðin í stærðfræði
Markmiðum eru skipt niður í hlutamarkmið eftir 3. bekk, 6. bekk og 9. og 10. bekk. Nemendur eiga að öðlast innsýn í grundvallarhugsun, aðferðir og hugtök stærðfræðinnar.

Í talnafræði og algebru er m.a. gert ráð fyrir að nemendur að loknum 9. bekk eigi að þekkja ræðar tölur; þekkja menningar- og sögulega þróun talna; beita höfuðreikningi og áætlunarreikningi; geta notað vasa- og tölvureikni; geta beitt stærðfræðireglum; þekki prósentureikning; geti reiknað með brotum (brotareikningur), þekki föll og jöfnur.

Í sambandi við rúmfræði er t.d. gert ráð fyrir að eftir 9. bekk eigi nemendur að þekkja og geta notað mismunandi flatarmyndir; geta teiknað flatarmynd að gefnum forsendum.

Í sambandi við hagnýta stærðfræði er m.a. gert ráð fyrir að eftir 9. bekk eigi nemendur að: geta valið reikningstegund og notað prósentureikning og hlutfallareikning í mismunandi samhengi; leyst dæmi sem tengjast hagfræði, tæknifræði og umhverfisfræði; leyst dæmi varðandi launauppgjör, húsnæði o.fl.

Kennsla-sem-athöfn
Kennslan er skipulögð í lotum.
Bekkjarkennsla
Hópvinna
Einstaklingsvinna

Kalla nemendur upp til að útskýra nýtt efni eða lausnir.

Leggja rækt við þátt tungumálsins í stærðfræðikennslu.

Nota hjálpartæki.

Í námskránni er að finna heilan kafla um stærðfræðikennarann í grunnskólanum. Hér er lýst hlutverki kennarans í kennslunni og því hvaða verkefni hann eigi að leysa í sambandi við fagið og nemendur. M.a. kemur fram að markmið skólans er ekki að gera nemendur að stærðfræðingum en að kennslan og fagið eigi að stuðla að persónulegri þróun nemandans. Einnig er sagt að „den traditionelle facitorienterede bedømmelse“ sé ekki lengur nægileg.

Námsmat
Meginsjónarmið
Nemandi tekur þátt í námsmatinu. Ábyrgð á eigin námi. Símat á verkefni o.s.frv.

Aðferðir
Lausnir verkefna og þrauta, röksemdafærsla og tengsl við daglegt líf.

Inntak/efnisþættir
Verkefni og próf. Eitt samræmt munnlegt próf og eitt samræmt skriflegt próf.

Skriflegt próf er 4 tímar samtals , samanstendur af tveimur hlutum. Fyrri hluti prófsins varðar færni og nemendur fá 1 klst. í þennan þátt. Í þessum hluta prófsins er prófuð færni nemenda og notkun aðferða. Í þessum hluta prófsins er vasareiknir o.fl. ekki leyfð sem hjálpargögn. Í hinum hluta prófsins (3 klst.) er gert ráð fyrir að nemendur vinni að lausnarleit. Hjálpargögn eru leyfð.

Munnlega prófið er byggt upp þannig að nemendur saman (í hópum á 2-3) eða einstaklingsbundið undirbúa svör um afmarkað efni. Nemendur fá það sem samsvarar 20 mín. á mann til að gera grein fyrir og leysa ákveðna þraut. Nemendur eiga að fjalla um efnið bæði „teoretiskt“ og „praktiskt“. Í prófherberginu á að vera aðgangur að tölvu sem nemendur geta nýtt sér.

Ástand nemenda í upphafi
Þegar nemendur byrja í skólanum er ekki gert ráð fyrir að þeir hafi fyrirfram kunnáttu. Byrjendakennslan eigi að taka mið af hverjum nemanda fyrir sig. Eitt grundvallaratriði er að nemendur eru með í að meta og skipuleggja markmiðin með kennslunni frá byrjun.
Nám-sem-athöfn
Nemendur vinna bæði einstaklingsvinnu og saman í litlum hópum að þrautalausnum, athugunum, rannsóknum og mælingum.

Nemendur skipuleggja vinnuna sjálfir og skipta með sér verkum. Nemendur bera ábyrgð á eigin námi.

Mikinn hluta tímans þarf að nota til að æfa dæmareikning sem hver og einn þarf að ná tökum á.

Nemendur vinna með tölvureikni og tölvuforrit. Nemendur kynnast mismunandi kennsluefni. Nemendur skulu hafa aðgang að safni handbóka og netinu.

Nám-sem-árangur
Nemendur læra að vinna markvisst með stærðfræði og aðferðir stærðfræðinnar.

 

SÁS – stærðfræði – grunnskólinn – Svíþjóð

7 ramma aðferðin notuð til að greina námskrá í stærðfræði í grunnskólum í Svíþjóð

Inntak
Nám í stærðfræði byggist á hugtökum tengdum tölum og rúmi og stærðfræðin felur í sér huglæg einkenni og hugsun.

Finna jafnvægi milli sköpunarleiða og þrautalausna annars vegar og þekkingu á hugtökum, aðferðum og framsetningu hins vegar.

Efla talnaskilning og víddarskyn og hæfileika til að skilja og nota

  • talnahugtök og reikningsaðferðir, m.a. námundun, hlutföll og prósentureikning.
  • mismunandi aðferðir og kerfi til að bera saman, giska á og meta mikilvægi stærðargráða með hugarreikningi, skriflegum aðferðum og notkun tækja.
  • mismunandi aðferðir og mælitæki í mælingum á lengd, flatarmáli, rúmmáli, hornum, stærðum, tímapunktum og tíma.
  • grunnhugtök í rúmfræði og tengsl þeirra, notkun á teikningum og kortum.
  • grunnhugtök og aðferðir í tölfræði, og framsetningu og túlkun á töflum og línuritum.
  • grunnhugtök í algebru, jöfnur.
  • einkenni mismunandi falla og línurit, túlkun.
  • líkindahugtök.

Tengsl við daglegt líf og skólagreinar

Námskrá
Almenn markmið og hlutverk stærðfræðinnar í menntun
Grundvöllur að ákvarðanatöku í daglegu lífi, í túlkun og nýtingu upplýsinga og fyrir þátttöku í samfélaginu.
Hluti af menningu, saga stærðfræði.
Vekja áhuga og skapa möguleika til tjáskipta með stærðfræði.
Uppgötva listræn einkenni í mynstrum, formum og tengslum.
Leiða til ánægju með því að leysa þrautir.
Leita að skilningi, innsæi og lausnum.

Markmið
Efla áhuga og sjálfstraust.
Skynja mikilvægi stærðfræði í menningarlegu og sögulegu samhengi.
Meta og nota stærðfræði sem mál.
Efla skilning og rökhugsun, bæði munnlega og skriflega.
Efla leikni við að leysa þrautir og leggja mat á lausnir.
Efla getu til að nota líkön og skilja takmarkanir þeirra.
Efla færni í notkun vasareikna og tölva.
Treysta undirstöðu fyrir frekara nám.

Kennsla-sem-athöfn
Leggja áherslu á myndræna framsetningu.

Leyfa nemendum að nota tölvur og reiknivélar þegar ávinningur er af því.

Leggja áherslu á hugarreikning.

Nota verkefni úr daglegu lífi, og nota tölvur og vasareikna.

Námsmat
Samræmt próf 2000
Skipt í þrennt:
  1. Þrautalausn þar sem hópur eða pör fá að ræða og leysa verkefni fyrst og síðan leysa nemendur svipuð verkefni sem einstaklingar (60 mín.).
  2. 1. Stuttar spurningar (tölur, brot, tugbrot, prósent, einföld algebrumynstur og jöfnur.
    2. Þrautalausn, stærri verkefni; leysa og túlka
    (80 mín., nemandinn ákveður skiptingu sjálfur).
  3. Þemaverkefni og þrautalausnir, útskýra ferli (80 mín.).

B1 61% hæst, C 42% lægst.

Árið 1999
7% fall, 53% gott, 34% mjög gott.
70% fengu sömu einkunn í samræmdu prófi og skólaeinkunn, 18% lægri og 13% hærri.
Kennurum fannst að prófið hafi enduspeglað kennsluáætlanir og voru almennt ánægðir, finnst að sýnishorn af prófi fyrirfram hjálpi þeim að meta námsárangur skv. matsforsendum.

Ástand nemenda í upphafi
Samræmd könnunarpróf í 5. bekk
Nám-sem-athöfn
Tjá sig á skiljanlegu máli við aðra, bæði í töluðu máli og rituðu.

Skilningur nemenda eflist við það að lesa, tjá sig og skiptast á skoðunum.

Nýta tæknibúnað.

Nám-sem-árangur
Áhugi
Sjálfstraust
Færni í að skilja, nota og staðhæfa

Þekking og skilningur í stærðfræði til að gera nemendur færa um að takast á við daglegt líf.

 

SÁS – stærðfræði – framhaldsskólinn – Ísland

7 ramma aðferðin notuð til að greina námskrá í stærðfræði í framhaldsskólum á Íslandi

Inntak
Aðferðir, þ.e.
Notkun tungumáls
- Stærðfræði og tungumál – læsi á stærðfræði í daglegu lífi og á stærðfræðilega texta
Lausnir verkefna og þrauta
- Aðgreint frá æfingadæmum
Röksamhengi og röksemdafærslur
Innri tengsl og yfirfærsla stærðfræði á önnu svið
- Öðruvísi mynstur á ólíkum sviðum og ásýnd í öðrum fræðigreinum

Inntak,.s.s.
Talnakerfið og algebra (oft fléttast saman)
Rúmfræði
Föll, deildun og heildun
Hlutföll, tölfræði og líkindafræði (fléttast saman)
Strjál stærðfræði (talnafræði, talningarfræði, mengjafræði og rökfræði)

Náttúrufræðibraut
Kjarni STÆ 103, 203, 303, 403, 503
Kjör STÆ 313, 513, 523, 603, 703

Aðrar bóknámsbrautir
Kjarni STÆ 103, 263
Kjör STÆ 313, 413, 363, 463, 303, 403, 503 (203 og ekki 263)

Námskrá
Langtímamarkmið
Lágmarkskunnátta í stærðfræði er hverjum manni nauðsynleg í daglegu lífi og til að skilja umheim sinn.
Miða kunnáttu við það sem getur nýst fólki í mörgum störfum (bls. 5).
Traust undirstaða í stærðfræði í framhaldsskóla er ómetanlegur grundvöllur undir allt nám þar sem stærðfræði er nýtt (bls. 6).

Lokamarkmið
Starf, nám og menning

Leiðir
Þjálfa leikni í að takast á við viðfangsefni þar sem lausnir liggja ekki í augum uppi.
Færni í notkun tungumálsins styrkir rökvísi.

Stærðfræðin sem fræðigrein
Stærðfræðin er undirstaða framfara í náttúruvísindum, verkfræði og tækni (bls. 5).
Undirstaða margra greina hugvísinda og gagnleg stoðgrein félagsvísinda.
Hefur komið við sögu tónlistar og byggingarlistar.

Viðhorf til stærðfræðinnar:

  • kynnast gagnsemi hennar og hlutverki.
  • kynnast skemmtigildi hennar.
  • stuðla að auknu sjálfstrausti.
  • kynna sögu stærðfræðinnar.
Kennsla-sem-athöfn
Setja skýr markmið varðandi vinnubrögð og aðferðir.

Bekkjarkennsla
Hópvinna
Einstaklingsvinna

Uppbygging kennslustundar: (Leggja inn) Kynna nýtt efni með fyrirlestrum og spurningum.

Kalla nemendur upp til að útskýra nýtt efni eða lausnir.

Taka saman.
Stýra umræðum.

„Samlestur á nýju efni, þar sem nemandi les texta úr námsefni og aðrir nemendur skiptast á að túlka efnið, getur einnig verið gagnlegt í bekkjarhópi“ (bls. 15).

Leggja rækt við þátt tungumálsins í stærðfræðikennslu, bæði móðurmál og á erlendum tungumálum.

Nota myndbönd.
Nota grafísk reiknitæki og tölvuforrit.
Nota töflureikna.

Námsmat
Meginsjónarmið
Nemandinn njóti sem best.
Nemendum séu ljósar forsendur mats.
Stærðfræði sé mest prófuð í eðlilegu samhengi, síður sem sundurlaus þekkingaratriði.
Fjölbreytni sé gætt í formi.
Nemandi taki þátt í námsmati.

Matsaðferðir
Þörf er á að meta aðferðir, inntak og viðhorf.
Aðferðir – viðfangsefni sem fela í sér meðferð tungumáls, lausnir verkefna og þrauta, röksemdafærslu og tengsl við daglegt líf – ritgerðir, stuttir fyrirlestrar/kynningar, greinargerðir, skýrslur, viðtöl, munnleg próf.
Inntak/efnisþættir - Verkefni og próf, munnleg eða skrifleg, í afmarkaðan eða óafmarkaðan tíma, í skóla eða heima.

Viðhorf
Kannanir – viðtöl eða spurningalistar
Athuganir – gátlistar
Mappa

Áfangamat
Verkefni, skyndipróf, skrifleg próf eða lokaverkefni; breytilegt eftir áföngum.

Ástand nemenda í upphafi
Ekki liggja fyrir neinar leiðir til að koma upplýsingum um stöðu nemenda í lok grunnskólans áfram nema nokkrar tölur – samræmd einkunn og skólaeinkunn í lok 10. bekkjar.

Nemendur, sem eiga hægara með stærðfræði, eru hvattir til að reyna að draga fram almennar reglur á meðan aðrir fást við einstök tilvik (bls. 13).

Gert er ráð fyrir að nemendur hafi staðist lágmarkskröfur í grunnskóla og jafnframt er sagt að nemendur séu misjafnlega á vegi staddir.

Nám-sem-athöfn
Nemendur vinna saman í litlum hópum að þrautalausnum athugunum, rannsóknum og mælingum.

Nemendur skipuleggja sjálfir vinnuna og skipta með sér verkum.

Mikinn hluta tímans þarf að nota til að æfa dæmareikning sem hver og einn þarf að ná tökum á.

Nemendur eigi að kynnast heimildavinnu og kynna niðurstöður í ritgerðum, fyrirlestrum eða pistlum á heimasíðum.

Nemendur eigi að hafa aðgang að safni handbóka og netinu.

Nám-sem-árangur
Sjálfstraust
Ánægja
Leikni
Kunnátta

 

SÁS – stærðfræði – framhaldsskólinn – Danmörk (með Michael Dal)

7 ramma aðferðin notuð til að greina námskrá í stærðfræði í framhaldsskólum í Danmörku

Inntak
Stærðfræði er kennd á æðsta stigi (A) í stærðfræðideild. Í máladeild er stærðfræði hluti af náttúrufræðum.

Stærðfræði í stærðfræðideild:
Gert er ráð fyrir að nemendur venjist afleiðsluaðferðum og að vinna með röksamhengi og röksemdafærslu. Nemendur læra að vera læsir á stærðfræði í daglegu lífi og á stærðfræðilega texta. Áhersla á innri tengsl og yfirfærslu stærðfræði á önnur svið.

Fimm efnisþættir:

  1. Talnakerfið og algebra
  2. Rúmfræði og vektor
  3. Föll (funktioner)
  4. Deildun og heildun (infinitesimalregning)
  5. Hlutföll, tölfræði og líkindafræði, strjál stærðfræði.

Að auki er valfrjáls kennslulota (15 tímar) þar sem er unnið með annaðhvort sögulega hlið, byggingu stærðfræðilegs líkans eða strjála stærðfræði (rökfræði, talnafræði o.s.frv.).

Námskrá
Markmiðin í stærðfræði í stærðfræðideild
Markmiðin eru að nemendur öðlist innsýn í grundvallahugsun, aðferðir og hugtök stærðfræðinnar. Einnig er gert ráð fyrir að nemendur séu vanir að nota stærðfræðina til að leysa og greina mynstur á ólíkum sviðum og í ýmsum fræðigreinum. Traust undirstaða í stærðfræði í framhaldsskóla er ómetanlegur grundvöllur undir allt nám þar sem stærðfræði kemur við sögu.

Þjálfa leikni í að takast á við viðfangsefni þar sem lausnir liggja ekki í augum uppi.

Stærðfræðin er undirstaða framfara í náttúruvísindum, verkfræði og tækni.

Viðhorf til stærðfræðinnar

  • kynnast gagnsemi hennar og hlutverki
  • kynnast skemmtigildi hennar
  • stuðla að auknu sjálfstrausti
  • kynna sögu stærðfræðinnar
Kennsla-sem-athöfn
Kennslan er skipulögð í lotum.

Leggja rækt við þátt tungumálsins í stærðfræðikennslu, bæði móðurmál og á erlendum tungumálum.

Myndbönd, grafísk reiknitæki og tölvuforrit, vasareiknir, töflureiknir.

Upplýsingatækni og tölvuforrit verða hluti af kennslunni.

Stærra skriflegt verkefni í 3. bekk í menntaskóla þar sem nemendur, sjálfstætt eða í hópum, vinna með afmörkuð efni.

Námsmat
Heimavinna – 77 verkefni.

Eitt munnlegt próf og tvö skrifleg próf.

Fyrsta skriflega prófið eru 4 tímar. Öll hjálpargögn eru leyfð. Annað skriflega prófið er 2 tímar og engin hjálpargögn eru leyfð.

Munnlega prófið er 30 mín. og nemendur fá 30 mín. í undirbúning. Gefinn er upp 170–240 bls. texti frá öllum þrem árum í menntaskóla en áhersla er þó lögð á efni frá 2. og 3. ári í menntaskóla.

Ástand nemenda í upphafi
Nemendur eru búnir að vera í stærðfræði í 1.– 9. (10.) bekk í 4 kennslustundir á viku. Lögð hefur verið áhersla á stærðfræði og tungumál – læsi á stærðfræði í daglegu lífi

Lögð er áhersla á að nemendur hafi öðlast skilning á grunnatriðum stærðfræðinnar og séu færir um að vinna með stærðfræðilíkan og talnakerfi og algebru.

Gert er ráð fyrir að nemendur hafi staðist lágmarkskröfur í grunnskóla. Í upphafi framhaldsskóla er gert ráð fyrir að nemendur séu misjafnlega langt komnir og í námskrá er tekið sérstaklega fram að kennslan verði að taka mið af því með því að kennarinn beiti mismunandi vinnu- og kennsluaðferðum og láti nemendur vinna verkefni þar sem bæði er tekið tillit til þeirra nemenda sem eru dugmiklir og þeirra sem ekki eru jafn dugmiklir.

Nám-sem-athöfn
Lesinn er 500–700 bls. texti.

Nemendur skipuleggja sjálfir vinnuna og skipta með sér verkum. Nemendur bera ábyrgð á eigin námi.

Mikinn hluta tímans þarf að nota til að æfa dæmareikning sem hver og einn þarf að ná tökum á.

Nemendur leita eftir heimildum og vinna að minnsti kosti tvö stór þemaverkefni þar sem er lögð áhersla á sjálfstæð vinnubrögð og færni í að vinna með rökfærslu og rökhugsun.

Að auki skila nemendur stóru skriflegu lokaverkefni í þriðja bekk

Nemendur eiga að hafa aðgang að safni handbóka og netinu.

Nám-sem-árangur
Nemendur læra að vinna markvisst með stærðfræði og aðferðir stærðfræðinnar. Þetta gefur nemendum sjálfstraust og sjálfsálit og á að einfalda þeim að takast á við áframhaldandi nám á sviði tæknifræði, náttúrufræði og læknisfræði eða annarra faga. Að auki fá nemendur leikni í að hugsa rökvíst og fá þekkingu og kunnáttu á sviði stærðfræðinnar. Námið í stærðfræði á einnig að undirbúa nemendur almennt fyrir háskólanám.

 

SÁS – stærðfræði – framhaldsskólinn – Svíþjóð

7 ramma aðferðin notuð til að greina námskrá í stærðfræði í framhaldsskólum í Svíþjóð

Inntak

Allir nemendur fara í Stærðfræði A, sem byggist á grunnskólakunnáttu en felur í sér erfiðari dæmi og meiri þekkingu. Efnisþættir eru talnareikningur, algebra, rúmfræði, tölfræði og föll.

Nemendur á náttúrufræði-, félagsfræða- og tæknibraut fara í Stærðfræði B sem er einskonar framhald af Stærðfræði A, með meiri áherslu á hugtök og aðferðir, og farið er út í tölfræðiathugun.

Nemendur í náttúrufræði- og tækni- braut fara í Stærðfræði C og D. Nýtt efni í Stærðfræði C er breytingar, deildun og kjörun og í Stærðfræði D er farið út í hornafræði og heildun.

Stærðfræði E er valáfangi fyrir nemendur sem vilja fara nokkuð ítarlega í stærðfræði. Byggt er á fyrri áföngum en farið er í tvinntölur og meiri deildun og heildun.

Auk þess er boðið upp á tvo valáfanga – „discrete“, meira fyrir nemendur í upplýsingatækni og „extension“ sem leggur áherslu á notkun líkana.

Námskrá
Stefnt er að því að efla:
  • Kunnáttu í stærðfræði til að styðja val á námsbraut og frekari nám.
  • Færni í greiningu, mati og þrautalausnum vegna einstaklingsþarfa og vegna þarfa samfélags.
  • Jákvætt viðhorf og ánægja vegna sköpunarmöguleika í stærðfræði og að nemendur fái að upplifa fegurð og rök stærðfræðinnar.

Eftirfarandi atriði koma fram:

  • Efla sjálfstraust til að læra meira, hugsa stærðfræðilega og nota stærðfræði.
  • Skilja, skýra og nota stærðfræði sem tungumál.
  • Vera fær um að túlka og skýra þrautir og nota stærðfræði í lausn þrauta.
  • Nota rökhugsun.
  • Setja fram niðurstöður í töluðu og rituðu máli.
  • Læra að vinna einn og í hópi í því að skoða þrautir.
  • Efla getu til að íhuga reynslu.
  • Elfa færni í verkefnavinnu (prójekt).
  • Hanna og nota líkön.
  • Skynja menningarleg áhrif á stærðfræði og sögu hennar.
  • Þekkja tengsl milli upplýsingatækni og stærðfræði.

Mikil áhersla er lögð á þrautarlausnir sem er einskonar rauður þráður í gegnum námskrár.

Kennsla-sem-athöfn
Ekki er talað mikið um æskilegar kennsluathafnir. Einn viðmælandi okkar talaði um að kennsla í stærðfræði og náttúrufræði væri frekar hefðbundin.

Ljóst er að kennarar eiga að fylgjast vel með skilningi, frammistöðu og framförum einstakra nemenda sbr. námsmatsleiðir.

Námsmat
Námsmat hefur helst tvö einkenni:
  • áherslu á frammistöðumat (performance assessment).
  • samæmd próf í Stærðfræði A, B, C og D, í boði tvisvar á ári.

Einkunnir eru G, VG og MVG. Sem sé Staðist, Vel staðist og Mjög vel staðist.

Settar eru upp viðmiðanir fyrir einkunnagjöf („betygskriterier“) og eru þær jafnframt leiðarvísir fyrir bæði nemendur og kennara um væntingar sem gerðar eru til nemenda (sjá dæmi sem fylgir).

Samræmd próf eru í umsjón Skolverket. Kennarar úti í skólum fara yfir próf samkvæmt nákvæmum leiðbeiningum. Úrtaki prófa úr hverju sveitarfélagi er safnað saman til að fylgjast með einkunnagjöf og virkar jafnframt sem gæðastjórnunartæki.

Nemendur fara í samræmd próf eins og hér segir:

  • Félagsfræðabraut – A og B
  • Náttúrufræðibraut – A og D
  • Tæknibraut – A og C
  • Listbraut – A og B
  • Aðrar brautir – A

Einnig er hægt að leggja fyrir próf í Stærðfræði E úr prófabanka.

Ástand nemenda í upphafi
Ekki er tekið mark á einkunn nemenda í lok grunnskólans, heldur eru allir nemendur settir í stöðupróf um leið og skólinn hefst. Þetta á við í Umeå en í Malmö gera þeir þetta ekki heldur eru nemendur sem ekki standast kröfur grunnskólans (rúm 20 %) settir í „individuella program“ sem er sérhönnuð leið, oft eitt ár, til að vinna upp það sem nemendur náðu ekki í grunnskóla.

Nemendur eru flokkaðir í mismunandi hópa eftir niðurstöðum og sumum er boðin aðstoð með að styrkja ýmsa þætti. Í einum skóla fá u.þ.b. 100 nemendur af tæpum 700 nýjum nemendum stuðning eftir þörfum, allt frá einstaklingskennslu til stuttra vinnufunda (workshops). Stuðningur er veittur upp í 30 tíma. Þetta á við í Umeå.

Nám-sem-athöfn
Bæði markmiðin sem sett eru fyrir hvern áfanga og forsendur sem lagðar eru fram fyrir frammistöðumat lýsa vel hvað nemendur eiga að gera.

Töluverð áhersla er lögð á:

  • einstaklings- og hópvinnu.
  • á framsetningu í rituðu og mæltu máli.
  • á þrautarlausnir.
Nám-sem-árangur
Nám-sem-árangur er falið víða í námslýsingum en segja má að dregin sé upp mynd af nemanda sem getur notað stærðfræði í daglegu lífi, hefur gaman af því og getur sett stærðfræði bæði í sögulegt og menningarlegt samhengi.

Námið í stærðfræði á að tengja námsbraut og frekara námi og á að hafa gildi fyrir nemanda sem einstakling. Á einum stað er lítillega ýjað að því að stærðfræði skipti máli í þróun samfélags en ekki gert mikið úr því.